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2.3 Erzeugendensystem
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Sei V ein Vektorraum, M Ì V.
M heißt Erzeugendensystem von V, falls die lineare Hülle von M den gesamten
Vektorraum V ergibt, also:
[M] = V
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Bsp
Die Menge M = { (1,0) , (0,1) , (2,1) } ist ein ErzeugendenSystem des R².
Begründung: Jeder Vektor (x,y) lässt sich als Linearkombiniation
schreiben: (x,y) = x·(1,0) + y·(0,1) + 0·(2,1), da
ja x,y,0 reelle Zahlen (Skalare) sind. |
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2.6 Koordinatenvektoren
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Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, B = (b1,...,bn)
eine (geordnete !) Basis von V. Sei v Î V
v hat dann eine (eindeutige!) Darstellung bzgl. der Basis B, d.h.
$! a1,...,an mit
v = a1 · b1 +
... + an · bn
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Aufgabe
Zeige, dass obige Darstellung eindeutig ist!
(Hinweis: typischer Eindeutigkeitsbeweis!)
Link auf Lösung (pdf) |
Mit anderen Worten: Kennt man den Vektor v, so kann man die eindeutigen
(bzgl. der Basis B) Alphas bestimmen.
Umgekehrt: kennt man die
Alphas (bzgl. der Basis B!), so kann man den Vektor v als Linearkombination
aus den Basisvektoren der Basis b berechnen.
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Aufgabe
V = R². B = (b1,b2) mit b1 =
(2,1) , b2 = (3,5).
Bestimme den Koordinatenvektor von v = (-2,10) bzgl. B.
Link auf Lösung (pdf) |
Ist V ein Vektorraum mit K = R (reelle Zahlen) oder K = C (komplexe
Zahlen) als Körper, so sind die Alphas reelle bzw. komplexe Zahlen.
Fasst man diese Alphas (geordnet!) zusammen, so erhält man ein n-Tupel
mit reellen bzw. komplexen Einträgen.
D.h.: man erhält mit den Alphas
einen Vektor des Rn bzw. Cn
Da alle Koordinatenvektoren bzgl der gewählten Basis eindeutig mit
ihren Vektoren zusammenhängen und umgekehrt, handelt es sich bei der
Koordinatenabblidung i (griech: "jota")
(die Abbildung, die die Alphas als n-Tupel
liefert, wenn man den Vektor v einsetzt) um eine bijektive, lineare
Abbildung ("Isomorphismus").
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Bsp
V sei die Menge aller rellen Polynome (mit der Unbekannten x)
mit Grad kleiner gleich 1.
d.h. V = {p(x) = ax+b | a,b Î R}.
Dann bilden 1 und x eine Basis von V, da sich
jedes p Î V schreiben lässt (mit
passendem a und b) als: p(x) = a · x + b · 1. (Außerdem
sind 1 und x linear unabhängig).
p(x) hat also bzgl. B den Koordinatenvektor (a,b) mit a,b Î R.
d.h. Jedem p entspricht genau ein Vektor des R².
Man sagt: "V ist zum R² isomorph."
Durch diese Isomorphie übertragen sich grundlegende Eigenschaften zwischen
den oberflächlich völlig verschiedenen Vektorräumen V und R². Vor allem später
im Zusammenhang mit Funktionen (Abbildungen) wird sich das als nützlich
erweisen.
vgl. Kapitel Lineare Abbildungen und Matrixdarstellungen
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Aufgabe
Bestimme den Koordinatenvektor des Vektors (x,y,z) des R³ bzgl.
der Basis B=(e1,e2,e3).
e1=(1,0,0) , e2=(0,1,0) , e3=(0,0,1)
Was fällt auf?
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