Einführung in die Lineare Algebra

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Martin Glatz

E-mail: martin.glatz@edu.uni-graz.at
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Übersicht:       
 Hilfe
1. Körper und Vektorräume
2. Lineare Unabhängigkeit und Basis
3. Unterräume (im R², R³)
4. Lineare Abbildungen
5. Matrixdarstellungen
6. Abschlusstest

Lineare Abbildungen
 
4.1 Funktionen

Funktionen sind Zuordnungen von einer Menge (Definitionsmenge, Definitionsbereich) in eine weitere Menge (Bildbereich). Jedem Element aus dem Definitionsbereich wird genau ein Element aus dem Bildbereich zugordnet.

Bsp
D(f) = R. Bildbreich sei R.
Jedem x aus D(f) wird sein Quadrat zugeordnet.
Für diese Funktion lässt sich eine sogenannte "Abbildungsvorschrift" finden: f(x) = x² bzw. x wird auf x² abgebildet.


Üblicherweise (je nach Anwendungsgebiet) werden Funktionen auch "Abbildungen" genannt. In der Linearen Algebra ist das Wort "Funktion" eher unüblich.




 
4.2 Definition: lineare Abbildung

Seien V, W Vektorräuem. f sei eine Abbildung von V nach W (f: V ® W)
f heißt linear genau dann, wenn die folgenden beiden Aussagen gelten:

1.) Die Summe der Bilder zweier beliebiger Vektoren aus V ist immer gleich dem Bild der Summe der beiden Vektoren
2.) Das Bild eines Vielfachen eines Vektors aus V ist immer gleich dem Vielfachen des Bildes des Vektors

Wichtige Eigenschaft:
Eine lineare Abbildung ist bereits eindeutig definiert, sobald man die Bilder der Basisvektoren einer beliebigen Basis von V kennt. (Wieso?)

Aufgabe
Schreibe die beiden obigen Aussagen in mathematischer Schreibweise (mit Quantoren,...).
Welche Rechenoperationen werden in welchen Vektorräumen durchgeführt?

Aufgabe
Sind folgende Funktion linear? Beweis oder Gegenbeweis.

Link auf Angabe (Seite 1) und Lösung (Seite 2) (pdf)




 
4.3 Def von Bild
Sei f: V ® W eine Abbildung.
Unter dem Bild von f versteht man die Menge aller Bilder.

Bild(f) = { f(v) | v Î V}

(Hinweis: Oft wird "Bild(f)" auch mit dem enlg. "range(f)" bezeichnet! Dieser ist aber nicht mit dem deutschen "Rang" einer Matrix zu verwechseln)

Sind V und W Vektorräume und ist f eine lineare Abbildung, so ergeben sich für das Bild(f) einige "schöne" Eigenschaften.

Aufgabe
Ist Bild(f) eine Teilmenge von W? Beweis oder Gegenbeispiel
Ist Bild(f) ein Unterraum von W? Beweis oder Gegenbeispiel
Falls Bild(f) ein Unterraum von W ist: Was kann man über die Dimensionen aussagen?

Aufgabe
Bestimme das Bild von f (in möglichst einfacher Form: z.B. als lineare Hülle oder Basis)

Link auf Angabe (Seite 1) und Lösung (Seite 2) (pdf)




 
4.4 Def von Kern
V,W seien Vektorräume, f: V ® W sei eine lineare Abb.
Unter dem Kern von f versteht man die Menge aller Vektoren von V, die auf den Nullvektor o (in W) abgebildet werden.

ker(f) = kern(f) = {v Î V | f(v)=o}


Aufgabe
Bestimme den Kern der Abbildung f

Link auf Angabe (Seite 1) und Lösung (Seite 2) (pdf)

Aufgabe
Ist (mit den Vorraussetzungen der Definition) ker(f) immer ein Unterraum?
Beweis oder Gegenbeispiel!




 
4.5 Dimensionen-Formel
Sei f: V® W eine lineare Abbildung.
Die Dimensionen von V und W seien endlich.
Dann gilt folgender Zusammenhang:

dim V = dim(ker(f)) + dim(bild(f))

Aufgabe
Versuche, dir obigen Zusammenhang anhand von Zeichnungen zu veranschaulichen.
Wähle dabei eine geeignete Basis von V und von W und mache dann Pfeile, welche Basisvektoren wohin abgebildet werden.

Aufgabe
Bestimme die Dimension der Vektorräume, des Bildes und des Kerns der Linearen Abbildungen, die in diesem Kapitel 4("Lineare Abbildungen") vorkommen!




 
4.6 Anwendung der Dimensionen-Formel
Sei f: V® W eine lineare Abbildung.
Die Dimensionen von V und W seien endlich.

1.) f heißt injektiv, wenn jedes Element in bild(f) genau ein Urbild hat
2.) f heißt surjektiv, wenn jedes Element in W ein Urbild in V (unter f) hat
3.) f heißt bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.

Aufgabe
Formuliere obige Aussagen in mathematischer Schreibweise (Quantoren,...)

Aufgabe
V und W seien endlich.
Gilt dann, dass die drei Aussagen oben (1.),2.),3.)) äquivalent sind?
Beweis oder Gegenbeweis!




 
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