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3.1 Bedeutung des Grenzwertbegriffs
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Auch hierbei handelt es sich um einen Begriff, der uns ein wenig mit der
höheren Mathematik in Berührung bringt:
Viele Probleme, wie etwa die Bestimmung der Tangente in einem Kurvenpunkt
(Differentialrechnung) oder des Flächeninhaltes unter einer Kurve
(Integralrechnung), lassen sich mit der Elementarmathematik nicht
lösen. Man benötigt den Grenzwertbegriff, der den Schritt vom Endlichen ins
Unendliche möglich macht.
Motivation
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3.2 Beispiele: Anwendung des Grenzwertbegriffs
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1. Kühlschrankbeispiel aus Kapitel 2:
Dieses anschauliche Beispiel soll dir ein erstes Gefühl für den Grenzwertbegriff vermitteln.
2. Anwendung des Grenzwertbegriffs:
Wie schon im ersten Kapitel angedeutet (siehe 1.1) sind iterative Verfahren
ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik. Sie liefern Folgen, die einem
gesuchten Wert (z.B. p) immer näher kommen sollen, d.h. sie sollen gegen
diesen Wert konvergieren. Von Interesse ist dabei auch, wie schnell sich die
Folge diesem Wert annähert, d.h. ob man abschätzen kann (mit Grenzen), wie
weit das 3-te, 4-te, k-te Folgeglied vom gesuchten Wert maximal abweicht.
Aber dazu ein wenig später ...
Hier noch ein Beispiel für ein iteratives Verfahren zur Berechnung
von p.
Einführende Beispiele
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3.3 Definition: "Grenzwert"
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Hier findest du die genauen mathematischen Definitionen und
Begriffsbildungen rund um den Grenzwertbegriff.
Halte in deinem Heft fest!
Lernstoff
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3.4 Grenzwertsätze
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Auch hier lernen wir wieder ein sehr allgemeines Prinzip der höheren Mathematik
kennen:
1. Ein Problem wird in möglichst kleine und einfach zu lösende Teilprobleme
zerlegt.
2. Letztere werden einzeln gelöst.
3. Die so erhaltenen Teillösungen werden wieder zusammengesetzt. Man erhält
die Lösung des Problems.
Hier findest du eine Zusammenstellung von Sätzen, die es uns ermöglichen,
Grenzwertberechnungen im oben erklärten Sinn durchzuführen.
Lernstoff
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3.5 Berechnung von Grenzwerten
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Hier wird das unter 3.4 beschriebene Prinzip unter Verwendung der dort erhaltenen
Sätze vorexerziert.
Lernstoff
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3.6 Fehlerabschätzungen
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Jetzt schließen wir da an, wo wir bei 3.2.2.aufgehört haben:
Oft (wenn man z.B. durch Iteration einen Wert wie p näherungsweise berechnen
möchte) ist es wichtig, abschätzen zu können, wie schnell eine Folge konvergiert,
damit man entscheiden kann, wie viele Folgeglieder man berechnen muss, bis man
nahe genug am Grenzwert (z.B. p) ist.
Auch diese Überlegung ist in der höheren Mathematik von sehr grundlegender und
allgemeiner Bedeutung und wird hier demonstriert.
Lernstoff
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3.7 Und jetzt du alleine!
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Wende die unter 3.4, 3.5 und 3.6 erarbeitete Vorgehensweisen zur Berechnung von
Grenzwerten und zur Fehlerabschätzung an:
Aufgabenstellung
Kontrollmöglichkeit
Tipp: Berechne die gefragten Grenzwerte und Fehlerabschätzungen schrittweise in
deinem Heft (so wie unter 3.5 und 3.6).
Vertiefung, Übungsaufgaben
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3.8 Teste dich!
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Hier kannst du wieder überprüfen, inwieweit du die Inhalte aus dem dritten
Kapitel parat hast:
Kreuzworträtsel
Lückentext
Selfchecking Test
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