Zahlentheorie 5. Klasse

Lernpfad erstellt und betreut von:

Lisa Hauszer

E-mail: lisa.hauszer@edu.uni-graz.at
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Übersicht:       
Hilfe
1. Zehnerpotenzen und Gleitkommadarstellung
2. Dekadische und nichtdekadische Zahlendarstellungen
3. Teilbarkeitsfragen und -gesetze
4. Primzahlen
5. Literaturangaben

Primzahlen
 
4.1 Primzahlen
Wie wir im vorigen Kapitel erfahren haben, hat jede natürliche Zahl auf jeden Fall sich selbst und die Zahl 1 als Teiler. Manche Zahlen haben allerdings NUR diese beiden Teiler:



Die kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5 und 7. Diese Zahlen lassen sich durch keine anderen Zahlen teilen. Das kann man sich auch so überlegen:
Stell dir vor, du hast zum Beispiel 7 Münzen und möchtest diese in einem Rechteck anordnen. Du wirst keine Kombination finden, wo in allen Reihen gleich viele Münzen liegen, da sich die Primzahl 7 nicht gerecht aufteilen lässt.

Lernstoff, Wiederholung
 
4.2 Sieb des Eratosthenes
Aufgabenstellung

Kennst du alle Primzahlen zwischen 1 und 100? Das Sieb des Eratosthenes ist eine altbekannte Methode um alle Primzahlen bis zu einer gewissen Schranke "herauszusieben".

Vertiefung
 
4.3 Primzahlen-Spiel
Aufgabenstellung

Wenn du dir sicher bist, dass du alle Primzahlen zwischen 1 und 100 gut kennst, dann probiere aus, ob du deine Freund*innen im Primzahlen-Himmel-und-Hölle besiegen kannst.

Vertiefung, Übungsaufgabe, Wiederholung
 
4.4 Fundamentalsatz der Zahlentheorie
Die Zahl 4950 ist eine zusammengesetzte Zahl. Sie lässt sich als Produkt ihrer Teiler darstellen: 4950 = 450·11.
Aber auch 450 ist eine zusammengesetzte Zahl, denn 450 = 50·9. Nun lassen sich auch 50 und 9 weiter zerlegen...
Das kann man so lange machen, bis die 4950 vollständig als Produkt von Primzahlen dargestellt wird:
4950 = 2·3·3·5·5·11.

Das Gleiche wie für 4950 gilt für jede natürliche zusammengesetzte Zahl und ist eine sehr wichtige Erkenntnis in der Zahlentheorie:



(Wie für jeden mathematischen Satz gibt es auch für den Fundamentalsatz der Zahlentheorie einen Beweis. Auf diesen werden wir hier allerdings nicht genauer eingehen.)
Aufgrund des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie bekommen die Primzahlen einen ganz besonderen Stellenwert in der Mathematik und werden manchmal auch als "Elemente" oder "Atome" der Zahlen bezeichnet.

Aufgabenstellung

Überlege und begründe: Ist die 1 eine Primzahl? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht?

Lernstoff
 
4.5 Übungen Primzahlzerlegung
Aufgabenstellung

Versuche in dieser Übung zur Primfaktordarstellung die Zahlen richtig in ihre Primfaktoren zu zerlegen.

 
4.6 Es gibt unendlich viele Primzahlen
Schon 300 Jahre vor unserer Zeitrechnung beschäftigte sich Euklid im antiken Griechenland mit der Frage, ob es nur eine endliche Anzahl von Primzahlen gibt. Er kam zu dem Schluss, den wir heute "Satz von Euklid" nennen:



Aufgabenstellung

Wörtlich schrieb Euklid: "Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen."
Was auf den ersten Blick logisch erscheint, musste allerdings noch bewiesen werden. Der Beweis stammt auch von Euklid und du kannst ihn dir in diesem Video ansehen.

Euklids Satz besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Da es allerdings bis heute keine effiziente Methode gibt, um sehr, sehr große Primzahlen zu finden, gibt es jeweils eine größte derzeit bekannte Primzahl. Seit Dezember 2018 ist es eine Zahl mit weit mehr als 24 Millionen Dezimalstellen.

Lernstoff, Vertiefung
 
4.7 Primzahlen und GeoGebra
Aufgabenstellung

Auch wenn es um Primzahlen geht, hat GeoGebra einiges zu bieten. Auf diesem Aufgabenblatt 4 lernst du einige praktische Befehle in GeoGebra kennen und kannst die ersten 25 Punkte der Primzahlzählfunktion visualisieren.

Übungsaufgabe
 
4.8 Primzahlzwillinge
Als Primzahlzwillinge bezeichnet man zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3;5), (5;7) und (11;13). Nun ist zwar bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, aber gibt es auch unendlich viele Primzahlzwillinge?

Bis heute ist es Mathematiker*innen nicht gelungen, das zu beweisen.



Aufgabenstellung

Gelingt es dir hingegen, die Fragen in diesem Quiz richtig zu beantworten?

Übungsaufgabe, Vertiefung, Wiederholung
 
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