Zahlentheorie 5. Klasse

Lernpfad erstellt und betreut von:

Lisa Hauszer

E-mail: lisa.hauszer@edu.uni-graz.at
Steckbrief
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Übersicht:       
Hilfe
1. Zehnerpotenzen und Gleitkommadarstellung
2. Dekadische und nichtdekadische Zahlendarstellungen
3. Teilbarkeitsfragen und -gesetze
4. Primzahlen
5. Literaturangaben

Dekadische und nichtdekadische Zahlendarstellungen
 
2.1 Dekadisches Zahlensystem
Aufgabenstellung

Kommen dir die Begriffe dekadisches Zahlensystem oder Zehnersystem bekannt vor? Sieh dir diese Präsentation an, um zu erfahren, was es mit der Schreibweise unserer Zahlen auf sich hat.

Lernstoff, Vorgriff
 
2.2 Hintergründe
Aufgabenstellung

Es wird vermutet, dass sich das Zehnersystem in besonders vielen Kulturen durchgesetzt hat, weil die allerersten Rechnungen mit den Händen duchgeführt wurden.
Unsere heutigen Zahlzeichen wirken dagegen wie willkürlich verwendete Symbole, allerdings haben auch sie sehr logische Ursprünge. Wie sie entstanden sind, erfährst du in diesem Video.

Vertiefung
 
2.3 Dualsystem (Binärsystem)
Wie schon erwähnt, gibt es nicht nur die dekadische Zahldarstellung. Das bekannteste nichtdekadische Zahlensystem ist das Binärsystem, auch Dualsystem (bina und dualis sind Latein und heißen "paarweise" oder "zwei enthaltend") oder Zweiersystem genannt.

Das Binärsystem beruht auf der Basis 2 und verwendet die Ziffern 0 und 1. Es ist ein Stellenwertsystem: Der Wert jeder Ziffer hängt - wie beim dekadischen System - von der Stelle ab, an der die Ziffer steht. Diese Stellen entsprechen hier allerdings Potenzen von 2.

Das sieht dann zum Beispiel so aus:



Aufgabenstellung

Computer arbeiten basierend auf dem Binärsystem. Die Ziffern 0 und 1 stehen dabei für die beiden Zustände "an" (on = 1) und "aus" (off = 0).
Wenn du mehr dazu wissen möchtest, sieh dir dieses Video an.

Lernstoff, Vertiefung
 
2.4 Binärsystem-Tabelle
Aufgabenstellung

In dieser Tabelle sind die Zahlen 0 - 50 als Dualzahlen dargestellt. Erkennst du die Regelmäßigkeiten, die sich bei den Dualzahlen ergeben?

Wiederholung, Vertiefung
 
2.5 Binär zählen
Hast du vielleicht schon einmal diesen Witz gehört? "Es gibt 10 Arten von Menschen: jene, die binär zählen können und jene, die es nicht können." Gemeint ist hier natürlich, dass es nur zwei Arten von Menschen gibt, allerdings wird die [2]10 im Zweiersystem als [10]2 (= 1·21 + 0·20) dargestellt.

Aufgabenstellung

Man könnte den Spruch auf folgende Art erweitern: Es gibt [10]2 Arten von Menschen: die, die mit ihren Händen binär zählen können und die, die es nicht können. Wenn du zur ersten Sorte Menschen gehören willst, schau doch mal hier vorbei und probier es selbst aus. Es ist gar nicht schwer!

Vertiefung
 
2.6 Umrechnung zwischen den Systemen
Die Umrechnung von der binären zur dekadischen Zahlendarstellung ist ganz einfach, wir haben sie in einem der vorhergehenden Kapiteln schon kennengelernt:

Wir betrachten die Zahl [1001101101,101]2. Nun muss jede Ziffer mit ihrem jeweiligen Stellenwert multipliziert werden (dabei kann man alle Stellen, die mit einer 0 multipliziert werden müssen, weglassen). Am Ende werden die Produkte zusammengezählt. Die Summe ergibt die Zahl im Dezimalsystem:

[1001101101,101]2 = 1·29 + 1·26 + 1·25 + 1·23 + 1·22 + 1·20 + 1·2-1 + 1·2-3
= 512 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = [621,625]10

Die umgekehrte Umrechnung - vom Dezimalsystem ins Dualsystem - funktioniert ein wenig anders, ist aber auch nicht schwierig:

Wir betrachten die Zahl [53]10:



Aufgabenstellung

Sieh dir diese GeoGebra-Datei an und probiere dich ein wenig an den Binärzahlen aus.

Lernstoff, Wiederholung
 
2.7 Übungen zu (nicht-)dekadischen Zahlendarstellungen
Aufgabenstellung

Probiere die Umrechnungen selbst in diesen Übungen (Arbeitsblatt 2) aus. Wenn dir das noch sehr schwer fällt, kann dir die Erklärung in diesem Video hoffentlich weiterhelfen.

Übungsaufgabe
 
2.8 Weitere Zahlensysteme
Es gibt noch viele andere Zahlensysteme. Im Prinzip kann jede natürliche Zahl als Basis eines Zahlensystems fungieren. Neben dem Binärsystem sind das Hexadezimalsystem(Basis 16) und das Oktalsystem (Basis 8) die bekanntesten nichtdekadischen Zahlensysteme. Beide finden in der Computertechnik Anwendung.

Aufgabenstellung

Einige Mathematiker*innen meinen, dass es viel besser wäre, vom Dezimalsystem auf das Duodezimalsystem (Basis 12) umzusteigen. Findest du Argumente, die für das Duodezimalsystem sprechen?

Vertiefung
 
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