"Mathematik ist gleichbedeutend mit Rechnen oder Rechentechnik. Das Lösen einer mathematischen Aufgabe besteht darin, die für das gestellte Problem zuständige Formel oder das passende Verfahren zu finden und mit deren Hilfe eine Rechnung durchzuführen. Am Ende kommt eine Zahl heraus, das Ergebnis oder Resultat. Es wird unterstrichen, und damit ist die Aufgabe gelöst."

"Ich will's nicht verstehen – ich möchte nur wissen, wie's geht!"

Beispiel: Die Ortschaft Zimtingen liegt an der nord-südlich verlaufenden Bundesstraße 38, die Ortschaft Pfefferbrück liegt an der an der west-östlich verlaufenden Bundesstraße 45. Wie in der nebenstehenden Straßenkarte verzeichnet, ist die Kreuzung der zwei Bundesstraßen von beiden Ortschaften jeweils 10 Kilometer entfernt. Um mit dem Auto von einem Ort zum anderen zu fahren, müssen daher 20 Kilometer zurückgelegt werden. Nun kommt der Plan auf, eine direkte, gerade verlaufende Verbindungsstraße von Zimtingen nach Pfefferbrück zu bauen. Frage: Wie lang wird sie sein? (Die Antwort auf diese Frage ist in zweifacher Hinsicht von Interesse: Sie gibt an, um wie viel schneller man dann von der einen in die andere Ortschaft gelangen kann, und sie ist die Grundlage für die Kalkulation der anfallenden Baukosten).

Mit den obigen Angaben als solchen kann die Mathematik zunächst gar nichts anfangen. Schließlich sind Worte wie "Ortschaft" und "Bundesstraße" keine mathematischen Begriffe. Um ein mathematisches Modell der beschriebenen Situation zu entwickeln, können wir beispielsweise so vorgehen:

• Die beiden Bundesstraßen werden als aufeinander normal stehende Geraden idealisiert. Die Kreuzung der beiden Bundesstraßen wird dann zum Schnittpunkt der beiden Geraden.
• Die Ortschaften Zimtingen und Pfefferbrück werden als Punkte auf den Geraden angesehen.
• Der Abstand zwischen dem Punkt "Kreuzung" und dem Punkt "Zimtingen" beträgt 10 Kilometer.
• Der Abstand zwischen dem Punkt "Kreuzung" und dem Punkt "Pfefferbrück" beträgt 10 Kilometer.
• Die geplante Verbindungsstraße wird als jene gerade Linie angesehen, die die beiden Punkte "Zimtingen" und "Pfefferbrück" verbindet.

Beachten Sie, dass keine dieser Idealisierungen in der Wirklichkeit exakt erfüllt ist. Sie dienen lediglich dazu, die gestellt Frage so abzuändern (oder "herzurichten"), dass sie von der Mathematik beantwortet werden kann! Das auf diese Weise erhaltene mathematische Modell lässt sich leicht in einer Skizze wiedergeben:

Von der ursprünglich geschilderten Situation sind nur mehr zwei Seiten eines Quadrats (der Seitenlänge 10 Kilometer) übriggeblieben! Die Frage nach der Länge einer direkten Verbindungsstraße reduziert sich auf die Frage, wie lang die Diagonale des Quadrats ist. Diesem innermathematischen Problem sind wir ein Stück weiter oben bereits begegnet. Die Antwort lautet: Die Länge der Diagonalen ist 10√2 Kilometer oder, unter Ausnutzung der Dezimaldarstellung (1) von √2,

d  =  10√2 Kilometer  =  14.1421356237309504880168872420969807856967... Kilometer.

(2)

Das ist jetzt eine sehr genaue Angabe der Lösung! Die Aussage "d  =  10√2 Kilometer" ist sogar eine exakte Lösungsangabe – allerdings ist sie

• nicht die Antwort auf die ursprüngliche Frage (Länge der Verbindungsstraße),
• sondern die Antwort auf die "übersetzte" Frage, die innerhalb des mathematischen Modells gestellt wurde (Länge der Quadratdiagonale)!

Wie genau dürfen wir ihr trauen, wenn es um die Vorhersage der Länge der Verbindungsstraße geht? Klarerweise ist die Antwort (2) gerade so zuverlässig wie das mathematische Modell, aus dem sie gewonnen wurde! Je nachdem, wie genau die Angaben sind (vor allem die Entfernungsangaben "10 Kilometer", aber auch die Annahme, die beiden Bundesstraßen verlaufen geradlinig und schneiden einander in einem rechten Winkel), umso mehr Dezimalstellen von (2) sind für das reale Problem von Bedeutung. Eine Lösungsangabe "14.142 Kilometer" wäre immerhin auf einen Meter genau! Sind die Entfernungsangaben in der Straßenkarte auf ganze Kilometer gerundet (und danach sieht es aus!), so mag es wohl ehrlicher sein, die Länge der Verbindungsstraße mit "ungefähr 14 Kilometer" anzugeben. (Ist die Straße erst einmal gebaut, so wird sie in der nächsten Auflage der Straßenkarte mit einer Länge von 14 Kilometern verzeichnet sein).

Um die Genauigkeit der Vorhersage zu erhöhen, müsste das Modell verbessert werden. Beispielsweise könnte man die Entfernungen genauer als auf ganze Kilometer gerundet angeben. (Dazu sollte man auch festlegen, wo genau die neue Straße die beiden Bundesstraßen kreuzen soll und die Entfernungen auf diese Kreuzungspunkte beziehen. Entfernungen wären dann immer zwischen Straßenkreuzungen angegeben. Die "Ortschaften" als solche wären für das Modell irrelevant). Das so erhaltene Modell wäre etwas komplizierter (es würde von der Diagonale eines Rechtecks handeln, sofern die beiden gegebenen Abstände nicht genau gleich wären), dafür aber zuverlässiger. Beispielsweise könnte es so aussehen:

(Können Sie d berechnen?) Weiteren Verbesserungsideen sind keine Grenzen gesetzt: Vielleicht schneiden die beiden Bundesstraßen einander unter einem etwas anderen Winkel als 90°? Ein derart verallgemeinertes Modell führt auf ein "trigonometrisches Problem", das Sie mit den im Kapitel Trigonometrie besprochenen Techniken lösen können. Beispielsweise könnte eine genauere Vermessung auf dieses Modell führen:

Vielleicht verlaufen die Bundesstraßen sogar leicht gekrümmt? Vielleicht kann die geplante Verbindungsstraße wegen eines kleinen Hügels, der im Weg steht, nicht wirklich geradlinig verlaufen? Dinge wie diese können nach Belieben in mathematischen Modellen berücksichtigt werden, um ihre Relevanz für angewandte Fragestellungen zu erhöhen. Je besser das Modell, umso besser das Resultat. (In unserem Straßenbeispiel wird dem Verlangen nach genaueren Modellen irgendwann eine natürliche Grenze gesetzt, denn die Länge einer Straße auf Zentimetergenauigkeit zu kennen, wird für alle praktischen Zwecke wohl ausreichen...)

Beispiel: Betrachten wir noch einmal das Problem der Verbindungsstraße zwischen Zimtingen und Pfefferbrück. Das mathematische Modell, das der letzten der obigen Skizzen zugrunde liegt, geht davon aus, dass die beiden Bundesstraßen geradlinig verlaufen, besteht aber im Unterschied zu allerersten Version nicht darauf, dass sie einander unter einem exakt rechten Winkel schneiden und dass ihre Kreuzung von beiden Ortschaften exakt gleich weit entfernt ist. Eine solche Situation ist hinreichend allgemein, um öfters – mit unterschiedlichen Zahlenwerten, aber immer mit der gleichen mathematischen Struktur – aufzutreten, beispielsweise in der Landvermessung. Auf den Punkt gebracht, sieht die mathematische Struktur der Fragestellung so aus:

Gegeben sind die Längen a und b sowie der Winkel γ. Gesucht ist die Länge d. Wie Sie sehen, wurden die Zahlen durch Symbole ersetzt. In jedem konkreten Anwendungsfall erhalten sie wieder konkrete Zahlenwerte. Die Benennungen der Ortschaften und der Kreuzung sind hinfällig. An ihre Stelle treten Punkte, die erst in einem konkreten Anwendungsfall wieder eine besondere Bedeutung erhalten (etwa als Ortschaften, Kreuzungen, aber auch als markante Punkte in der Landschaft wie alleinstehende Häuser oder Bäume).

Die Länge d zu ermitteln, wenn a, b und γ bekannt sind, ist ein trigonometrisches Standardproblem, dessen Lösung durch die Formel

__________________ d  =  √ a2 + b2 – 2 a b cos γ

(3)

(den so genannten Cosinussatz) ausgedrückt wird. Wenn Sie mit ihrem Mathematikstoff noch nicht bei den Winkelfunktionen und der Trigonometrie angekommen sind, müssen Sie diese Formel nicht verstehen. Für das, was wir Ihnen jetzt zeigen wollen, ist es sogar besser, wenn Sie sie nicht verstehen: Mit ihrer Hilfe können Sie in jedem konkreten Anwendungsfall die Länge d bestimmen, d.h. das gestellte Problem lösen, ohne irgend etwas von der zugrundeliegenden Mathematik zu verstehen! Dazu nehmen Sie einfach einen wissenschaftlichen Taschenrechner zur Hand. Er sollte die Tasten √ oder √x (Wurzelziehen), x² (Quadrieren) und cos (was auch immer das ist) besitzen. In jedem konkreten Anwendungsfall gehen Sie wie folgt vor:

• Geben Sie den Zahlenwert von a ein
• Drücken Sie auf die Taste x²
• Drücken Sie auf die Taste +
• Geben Sie den Zahlenwert von b ein
• Drücken Sie auf die Taste x²
• Drücken Sie auf die Taste –
• Geben Sie die Zahl 2 ein
• Drücken Sie auf die Taste ×
• Geben Sie den Zahlenwert von a ein
• Drücken Sie auf die Taste ×
• Geben Sie den Zahlenwert von b ein
• Drücken Sie auf die Taste ×
• Geben Sie den Zahlenwert von γ ein
• Drücken Sie auf die Taste cos
• Drücken Sie auf die Taste =
• Drücken Sie auf die Taste √

Die zuletzt angezeigte Zahl ist das Ergebnis, d.h. der gesuchte Zahlenwert von d.

Anmerkung: Bei manchen Taschenrechnern muss man zuerst eine Einstellung vornehmen, die die Verarbeitung von Winkeln regelt. Das Drücken der Wurzeltaste √ ist auf manchen Taschenrechnern durch das Drücken der Taste x^y, gefolgt von der Eingabe 0.5, zu ersetzen, und wieder andere Rechner verlangen eine ganz andere Eingabeart, aber in den meisten Fällen klappt's wie hier angegeben.

Eine alternative Methode besteht darin, das Werkzeug "Online Rechnen mit Mathematica" mit dem nebenstehenden Button aufzurufen, den Ausdruck

Sqrt[a^2 + b^2 - 2 a b Cos[γ*Pi/180.]]
in das Eingabefeld zu kopieren, die Symbole a, b und γ durch ihre jeweiligen Zahlenwerte zu ersetzen und auf "Ausführen" zu klicken.

• Gerade in der heutigen Welt treten immer neue Problemstellungen auf, die noch nicht in zufriedenstellender Weise in die Form mathematischer Modelle gebracht und gelöst wurden. In vielen Berufen ist es nötig, mit einem gewissen Ausmaß an mathematischem Sachverstand an die Formalisierung von Sachverhalten und Abläufen heranzugehen. (Beispiel: Der Komprimierung digitaler Tonaufzeichnungen in das MP3-Format liegt ein neu entwickelter mathematischer Algorithmus zugrunde!)
• Wenn das in den Algorithmen eingefrorene Wissen nicht immer wieder "verflüssigt" wird, wie soll es dann tradiert, d.h. an die jüngere Generation weitergegeben werden?
• Vielleicht sind Sie es gewohnt, beim Zahlen im Restaurant die "Rechnung" des Kellners (in beiderlei Wortsinn) zu überprüfen. Zumindest könnten Sie es. In ähnlicher Weise sollten wir etwa in der Lage ein, die Interpretation eines in den Medien präsentierten statistischen Schaubildes – verständnisgeleitet – zu überprüfen. Mathematisches Grundverständnis hilft, sich in vielen heute relevanten Fragen eine eigene Meinung zu bilden.
• Mathematik ist eine kulturelle Errungenschaft. Sie ist die formale Basis eines modernen wissenschaftlichen Weltbilds und hilft, unsere Kenntnis von der Welt (und zwar in so ziemlich jedem Fachgebiet, dass Sie sich vorstellen können) zu vermehren. Daher sollte ein gewissen Ausmaß an mathematischem Verständnis Teil der Allgemeinbildung sein. Nebenbei bemerkt: Sie kann auch – ob Sie's glauben oder nicht – Spaß machen!
• Und schließlich fällt die Erlernung von Verfahrensrezepten in der Regel leichter, wenn die Mathematik, auf der sie beruhen, verstanden wurde. Ein bisschen plakativ könnte man sagen: Viele praktische Anwendungen leiten sich aus (relativ) wenigen grundlegenden mathematischen Tatsachen her.

Beispiel: Die Geschichte vom Schachbrett und den Dominosteinen: Rufen Sie mit dem nebenstehenden Link ein faszinierendes Rätsel auf (das Sie auch in der Galerie unter Spielerisches finden)! Eine andere Aufbereitung dieser Geschichte finden Sie unter http://elearning.mat.univie.ac.at/spiele/esb/.

Beispiel: Eine ähnlich gelagerte – wenngleich etwas komplexere – Aufgabe ist das 14-15-Zahlenpuzzle, das Sie mit dem nebenstehenden Link aufrufen können (und ebenfalls in der Galerie unter Spielerisches finden). Auch hier ist es eine auf den ersten Blick nicht einfach erkennbare Struktur (der "Unordnungsparameter"), mit deren Hilfe sie sich lösen lässt.

Bei folgendem Beispiel begehen viele mit dem Buchstabenrechnen ungeübte Menschen einen Fehler: Auf einem Universitätsinstitut gibt es p Professoren und s Studierende. Auf einen Professor kommen 6 Studierende. Drücken Sie die Beziehung zwischen p und s durch eine Formel aus!

Versuchen Sie's! Vielleicht ist ihr erster Tipp

p  =  6 s .

(4)

Das wäre dann leider falsch! Macht nichts! Der springende Punkt ist: Wie können Sie eigenständig überprüfen, ob (4) die richtige Antwort ist oder nicht? Dazu gibt es zwei Methoden. Versuchen Sie, beide zu verstehen:

• Methode 1 versucht, (4) "richtig zu lesen". Diese Formel besagt: Die Zahl der Professoren ist 6 mal so groß wie die Zahl der Studierenden, was offensichtlich nicht bedeutet, dass "auf einen Professor 6 Studierende kommen".
• Für Methode 2 ist ein Verständnis der einfachen Idee, dass die verwendeten Symbole in einem konkreten Fall konkrete Zahlenwerte annehmen, nützlich. Wir exerzieren sie langsam vor: Stellen Sie sich vor, auf dem Institut gibt es 100 Studierende. Das bedeutet, dass s durch die Zahl 100 ersetzt wird: s = 100. Damit lautet (4) aber: p = 6 · 100, also p = 600. Wäre (4) richtig, so müsste es 600 Professoren geben, was ebenfalls nicht bedeutet, dass "auf einen Professor 6 Studierende kommen".

Die richtige Lösung ist

s  =  6 p .

(5)

Hier ergeben beide Methoden eine Bestätigung:

• Methode 1: Formel (5), richtig gelesen, lautet; Die Zahl der Studierenden ist 6 mal so groß wie die Zahl der Professoren. Genau das ist die Bedeutung der Aussage, dass "auf einen Professor 6 Studierende kommen".
• Methode 2: Angenommen, auf dem Institut gibt es 100 Professoren. Das bedeutet, dass p durch die Zahl 100 ersetzt wird: p = 100. Damit lautet (5): s = 6 · 100 = 600, was ebenfalls passt.

1. Die empfohlene Methode: Denken Sie über die beschriebene Situation nach! Was ist angegeben, was ist gefragt? Wird eine Alltagssituation beschrieben, unter der Sie sich etwas vorstellen können? Wie lässt sich das in Worten gestellte Problem mathematisch formulieren? Wie lässt es sich lösen? Wenn Sie die Lösung haben: Was bedeutet sie? Falls es sich um ein realistisches Anwendungsbeispiel handelt, dann versuchen Sie, abzuschätzen, ob die mathematisch erhaltene Lösung plausibel ist, z.B. ob die Größenordnung des Resultats stimmen kann!
2. Die nicht empfohlene Methode: Sie erkennen einzelne Textstellen, die Sie an vorhergegangene Textaufgaben erinnern, kombinieren die im Text enthaltenen Zahlen in etwa so, wie es bei der früheren Aufgabe getan wurde (benutzen beispielsweise eine Formel, die auch früher verwendet wurde) und hoffen, dass das Ergebnis richtig ist.

Textaufgabe: Eine halbe Glatze hat 50 Haare. Wie viele Haare hat eine ganze Glatze?

Methode 2 könnte Sie dazu verleiten, die Regeln der Schlussrechnung (des Dreisatzes) anzuwenden und als Lösung 100 zu vermuten – was klarerweise Unsinn ist.

Textaufgabe: Eine Brille mit 2 Dioptrien kostet 30 Euro. Wieviel kostet eine Brille mit 3 Dioptrien?

Bitte sagen Sie nicht, dass die Antwort 45 Euro lautet!

Textaufgabe: Die Städte A und B sind 45 Kilometer voneinander entfernt. An einem schönen Frühlingstag herrscht eine Temperatur von 22 Grad Celsius. Ein Zug fährt mit einer Geschwindigkeit von 90 Kilometer pro Stunde von A nach B. Wie lange dauert die Reise?

Bei diesem Beispiel sollte Ihnen klar sein, dass die Angabe "22 Grad Celsius" für die Beantwortung der Frage irrelevant ist. Ignorieren Sie sie einfach! Lösen Sie die Aufgabe selbst! (Sie brauchen dafür nicht einmal etwas aufzuschreiben). Klarerweise werden hier (auch wenn üblicherweise nicht von Ihnen verlangt wird, das im Lösungsweg eigens anzugeben) einige Idealisierungen vorgenommen, nämlich, dass die Städte A und B als Punkte behandelt werden, dass der Zug immer mit genau der gleichen angegebenen Geschwindigkeit fährt (was zumindest beim Abfahren und Ankommen in der Realität nicht der Fall ist) und dass die Länge des Zuges vernachlässigt wird.

Frage: Ist eine Temperatur von 20 Grad Celsius doppelt so warm als eine Temperatur von 10 Grad Celsius?

Man wäre vielleicht versucht, die Frage mit "ja" zu beantworten. In manchen Ländern wird die Temperatur aber in Grad Fahrenheit gemessen. Auf der Seite Umrechnung Temperatur (von Jumk.de) können Sie selbst Temperaturangaben zwischen Celsius und Fahrenheit umrechnen. Nun betrachten Sie folgende Umrechnungstabelle:

Grad Celsiuis	Grad Fahrenheit
10	50
20	68

Wenn eine Temperatur von 20 Grad Celsius tatsächlich doppelt so warm wäre als eine Temperatur von 10 Grad Celsius, so müsste das unabhängig vom System, Temperaturen anzugeben, gelten. Das ist aber hier nicht der Fall, denn 68 ist nicht das Doppelte von 50! Die Antwort ist daher ein klares "Nein".

Ein schönes Beispiel ist die Aufgabe mit dem Bild im Spiegel, die Sie mit dem nebenstehenden Link aufrufen können. Sehen Sie sich an, wie sie gelöst wird!

Die Symmetrie, um die es hier geht, wird offenbar, wenn wir uns das zentrale geometrische Argument ansehen, das dabei verwendet wird: Der Schnittpunkt der Diagonalen eines Rechtecks liegt genau in dessen Mitte: Werden, wie in der nebenstehenden Skizze gezeigt, die beiden Diagonalen eines Rechtecks gezogen und danach die zu den Seiten parallelen Strecken durch den Schnittpunkt der Diagonalen, so ist die in roter Farbe dargestellte Strecke vom Diagonalenschnittpunkt zur unteren Rechtecksseite genau genau halb so groß wie die ebenfalls in roter Farbe dargestellte Seitenlänge b. Dieses Argument wird im Spiegel-Applet auf zwei Rechtecke angewandt. Aber wieso gilt es eigentlich? Seine Richtigkeit scheint sonnenklar zu sein. Der Grund für die Sicherheit, mit der wir es benutzen, liegt darin, dass in dieser Situation eine Symmetrie vorliegt: Die obere und die untere Hälfte des Rechtecks sind gewissermaßen "gleichberechtigt". Führen Sie die Maus über die Grafik! Dann wird (in grüner Farbe) eine weitere Strecke eingeblendet, die aufgrund der Symmetrie genauso lang sein muss wie die kurze rote Strecke, und daher halb so lang wie die lange rote Strecke.

Ein ganz anderes Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem (fairen) Würfel die Augenzahl 6 zu erzielen? Das wissen Sie natürlich: sie ist ein Sechstel. Das bedeutet, dass unter sehr vielen Würfen bei etwa einem Sechstel die Augenzahl 6 auftritt. Je größer die Zahl der Würfe ist, umso genauer gilt diese Aussage. Aber wieso gilt sie? Auch hier ist eine Symmetrie im Spiel: alle Augenzahlen sind "gleichberechtigt" (sonst wäre der Würfel nicht fair). Wenn alle 6 Augenzahlen gleich oft vorkommen, so muss aufgrund der Symmetrie jede einzelne Augenzahl bei einem Sechstel aller Würfe auftreten.

Definition 1: Eine gerade Zahl ist eine ganze Zahl, die die Eigenschaft hat, das Doppelte einer ganzen Zahl zu sein.

Nach dieser Definition sind die geraden Zahlen genau diese: ...–8, –6, –4, –2, 0 2, 4, 6, 8,...

Definition 2: Eine Daisy-Duck-Zahl ist eine ganze Zahl, die größer als 72 und kleiner als 99 ist.

Nach dieser Definition ist 75 eine Daisy-Duck-Zahl, 123 aber nicht.

Definition 3: Eine ungerade Zahl ist eine ganze Zahl, die keine gerade Zahl ist.

• Jede ganze Zahl ist entweder gerade oder ungerade.
• Von zwei benachbarten ganzen Zahlen ist immer eine gerade und eine ungerade.
• Das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Zahl ist gerade. (Diese Aussage werden wir im nächsten Unterabsschnitt beweisen).
• Das Produkt zweier benachbarter ganzer Zahlen ist gerade. (Diese Aussage werden wir im nächsten Unterabsschnitt beweisen).

Satz 1: Das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Zahl ist gerade.
Beweis: Die gerade Zahl sei mit g bezeichnet, die ungerade mit u. Der Beweis wird in drei Schritten geführt:

• Da g gerade ist und eine gerade Zahl das Doppelte einer ganzen Zahl ist, können wir g in der Form g = 2 k schreiben, wobei k eine ganze Zahl ist.
• Daher ist g u = 2 k u, was genau das Doppelte der ganzen Zahl k u ist.
• Folglich ist das Produkt g u eine gerade Zahl.

Die farblichen Hervorhebungen helfen Ihnen vielleicht, die Struktur des Arguments zu verstehen.

Satz 2: Das Produkt zweier benachbarter ganzer Zahlen ist gerade.
Beweis: Von zwei benachbarten Zahlen ist immer eine gerade und eine ungerade. Da das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Zahl gemäß Satz 1 gerade ist, ist das Produkt zweier benachbarter ganzer Zahlen gerade.

Beispiel: n ist eine ganze Zahl  =>  n(n + 1) ist eine gerade Zahl

Man kann das auch so lesen: "Wenn n eine ganze Zahl ist, so folgt, dass n(n + 1) eine gerade Zahl ist".
Überprüfung anhand eines Beispiels: 5 ist eine ganze Zahl, 5 · 6 = 30 ist eine gerade Zahl.

Beispiel: n ist das Doppelte einer ganzen Zahl  <=>  n kann ohne Rest durch 2 dividiert werden.

Man kann das auch so lesen: "Die Zahl n ist genau dann das Doppelte einer ganzen Zahl, wenn sie ohne Rest durch 2 dividiert werden kann".

Beispiel: Die Gleichung x² = x + 6 kann in Worten so beschrieben werden: "Ich bin interessiert an einer Zahl, die die folgende Eigenschaft hat: Quadriere ich sie, so erhalte ich das gleiche Ergebnis als wenn ich 6 zu ihr addiere". (Können Sie so eine Zahl finden? Tatsächlich gibt es zwei derartige Zahlen!)

Dieser verbale Beschreibung besitzt zwei Vorteile:

• Sie stellen (vor sich selbst) sicher, zu wissen, was eine Gleichung ist.
• Sie legen die mathematische Struktur dieser Gleichung offen. Klarerweise kann die Gleichung u² = u + 6, die ja ein bisschen anders aussieht als die obige, in der gleichen Weise verbal beschrieben werden. Es handelt sich also – trotz der Verschiedenheit der benutzten Symbole – um dieselbe Gleichung!

Beispiel: Es ist zu zeigen, dass die quadratische Gleichung x² = 1 genau zwei reelle Lösungen besitzt.

• Lösungsweg 1: Die gegebene Gleichung kann auch in der Form x² –1 = 0 geschrieben werden. Die linke Seite ist identisch mit (x – 1)(x + 1), ist also ein Produkt. Ein Produkt aus zwei Zahlen kann nur dann gleich 0 sein, wenn einer der beiden Faktoren gleich 0 ist. Daraus folgt, dass entweder x – 1 = 0 (und daher x = 1) oder x + 1 = 0 (und daher x = –1) ist. Mehr als diese zwei (reellen) Lösungen kann es nicht geben.
• Lösungsweg 2: Um die gegebene Gleichung zu lösen, kann die so genannte "kleine Lösungsformel" benutzt werden. Aus ihr ergeben sich unmittelbar die beiden reellen Lösungen x = 1 und x = –1.
• Lösungsweg 3: Der Graph der durch f(x) = x² – 1 definierten Funktion f ist eine nach oben offene Parabel, deren Scheitelpunkt die y-Koordinate f(0) = –1 besitzt, also unterhalb der y-Achse liegt. Die Funktion f hat daher genau zwei Nullstellen, die den beiden reellen Lösungen der gegebenen Gleichung entsprechen.

Beispiel: Wie lange ist die Diagonale eines quadratische Platzes mit 100 Meter Seitenlänge? Die Sache mit der Quadratdiagonalen haben wir oben bereits besprochen. Wie auch immer sie berechnet wird, verschiedene Lösungsangaben sind möglich:

• Die Länge der Diagonale des Platzes beträgt 100√2 Meter.
• Die Diagonale des Platzes ist √2 mal so lang wie die Seitenlänge.
• Die Länge der Diagonale des Platzes beträgt 141.42135623730950... Meter.
• Die Länge der Diagonale des Platzes beträgt 141 Meter, 42 Zentimeter und 1 Millimeter.
• Die Länge der Diagonale des Platzes beträgt 141.42 Meter.
• Die Länge der Diagonale des Platzes beträgt 141.4 Meter.
• Die Länge der Diagonale des Platzes beträgt 141 Meter.

Alle diese Lösungsangaben haben ihre Berechtigung. Die ersten beiden sind exakt, wenngleich sie sich nicht auf einen realen, sondern auf einen mathematisch idealisierten Platz beziehen. Die dritte gibt die Länge genauer an als die Größe eines Atoms und deutet durch die Punkte an, dass es noch genauer ginge. Die verbleibenden vier haben alle eine bestimmte Genauigkeit gewählt. (Welche Möglichkeiten sinnvoll sind, hängt davon ab, wofür man die Länge der Diagonale wissen möchte. Das wird hier nicht dazugesagt. Es könnte sich um die Anlage eines Weges oder um ein physikalisches Präzisionsexperiment handeln. Auch wenn der Zweck bekannt ist, besteht noch einige Freiheit, den Lösungswert zu runden – eine Spur genauer als nötig kann nicht schaden, aber damit zu übertreiben, macht keinen Sinn!)

• Ausgangspunkt sind die so genannten Axiome. Für Euklid waren das Aussagen, deren Gültigkeit nicht bezweifelt werden können. Heute bezeichnet man mit diesem Begriff schlicht die Grundsätze, die an den Anfang gestellt werden, und die zunächst als wahr angenommemn werden. Diese Vorgangsweise ist heute in der gesamten Mathematik gebräuchlich. Die verwendeten Axiome sind zum Teil so abstrakt, dass die Formulierung "deren Gültigkeit nicht bezweifelt werden können" auf sie nicht mehr wirklich zutrifft. Es gilt lediglich der Grundsatz, dass die verwendeten Axiome einander nicht widersprechen dürfen.
• Ausgehend von den Axiomen werden durch logisches Schließen Folgerungen gewonnen, die mathematischen Sätze (Theoreme).

• Lassen Sie sich drauf ein!
  Viele Menschen haben eine tiefsitzende Scheu vor der Mathematik. Manche haben sogar richtiggehende Angst davor, andere schlicht eine starke Abneigung. Etliche sagen, sie seien "unbegabt" und "total ungeeignet" für dieses Fach. In vielen Fällen stecken Probleme mit Mathematik-Lehrkräften oder die Angst vor Prüfungssituationen, Versagen und Bloßstellung dahinter. Versuchen Sie, so gut es geht, ein bisschen zwischen der Mathematik und der Art, wie Sie sie vermittelt bekommen, zu unterscheiden! Lasten Sie Motivationsprobleme nicht "der Mathematik" an! Versuchen Sie, die mathematischen Strukturen, Begriffe, Aufgaben und Methoden als Bestandteile einer Denktechnologie zu akzeptieren, die im Prinzip jeder Mensch erlernen kann!
   
• Verstehen ist (fast) alles!
  Die Haltung "Ich will's nicht verstehen – ich möchte nur wissen, wie's geht!" bringt Ihnen nur kurzfristig eine Arbeitseinsparung. A la longue führt sie dazu, dass Sie sich viel mehr merken müssen als mit ein bisschen Hintergundwissen, und dass sie Gefahr laufen, den Anschluss verlieren. Der Einstieg in jedes neue Kapitel wird Ihnen schwer fallen, und Sie werden ständig um eine minimale Orientierung kämpfen, um Ihre Prüfungen zu bestehen. Das alles ersparen Sie sich, wenn es Ihnen – sei es alleine oder im Verein mit anderen – gelingt, zu verstehen, was in diesem Gebiet "abgeht". Lediglich zu "üben", ohne Verständnis Aufgaben zu lösen, ist nicht nur mühsam, sondern kann zur Einübung und Automatisierung von Fehlern und fehlerhaften Vorgangsweisen führen. Wussten Sie, dass es in Matura-Arbeiten (Abitur-Arbeiten) nur so wimmelt vor Fehlern, die auf unverstandenen Stoff der Unterstufe (Sek 1) zurückgehen? (Wenn Sie das näher interessiert, sehen Sie sich Mario Wunderls Dipolmarbeit SchülerInnenfehler in Mathematikaufgaben der schriftlichen AHS-Matura an!)
   
• Auch das Papier ist eine nützliche Erfindung!
  Gerade wenn Sie mit Hilfe von Ressourcen wie mathe online lernen, die am WWW zur Verfügung stehen und mit dem Computer abgerufen werden, sollten Sie nicht zögern, ein Blatt Papier zur Hand zu nehmen, um Rechnungen und Notizen aufzuschreiben! "Mathematik lernen am Computer" soll keine Anleitung sein, alles im Kopf zu lösen.
   
• Eigene Aufzeichnungen sind Goldes wert!
  Ihr Lernprozess im Fach Mathematik wird wahrscheinlich ein längerer sein, der sich über Jahre erstreckt. Schreiben Sie Dinge, die Ihnen wichtig und nützlich erscheinen, auf, damit Sie sie später benützen können, und damit Sie sich später besser an sie erinnern können! So hat sich beispielsweise eine selbstgeschriebene Formelsammlung schon oft mittel- und langfristig bezahlt gemacht.