• 1° = 60' º 60 (Winkel-)Minuten und
• 1' = 60'' º 60 (Winkel-)Sekunden
   

• 1^g = 100^c º 100 Neuminuten und
• 1^c = 100^cc º 100 Neusekunden.

• Liegt a zwischen 0° und 180° und ist x º sina bekannt, so ist a entweder durch asinx (£ 90°) oder durch 180° - asinx (³ 90°) gegeben.
• Liegt a zwischen 0° und 180° und ist  y º cosa bekannt, so ist a durch acosy gegeben.

• Unter Winkel wird in einem Dreieck immer der Innenwinkel verstanden, kann also nicht größer sein als 180°. Wichtig ist der folgende Satz, der Ihnen wahrscheinlich bereits bekannt ist:

  Die Summe der Winkel (Winkelsumme) ist in jedem Dreieck 180°.

  (1)

  
  (Für einen Beweis klicken Sie auf den Button rechts).
   
• Die Höhe(nlinie) "auf eine Seite" ist jene Gerade, die auf diese Seite normal steht und durch den ihr gegenüberliegenden Eckpunkt geht. Die Strecke zwischen Eckpunkt und gegenüberliegender Seite wird ebenso wie deren Länge (d.h. der Normalabstand des Eckpunkts zur gegenüberliegenden Seite) kurz als Höhe bezeichnet. Auf den Begriff des Höhenschnittpunkts, den Sie wahrscheinlich schon kennen, werden wir weiter unten stoßen.

Zur Bezeichnung von Eckpunkten, Seiten, Winkeln und Höhen hat sich eine nützliche Konvention herausgebildet: Lauten die Seitennamen a, b und c (sie werden dann im Gegenuhrzeigersinn vergeben), so wird die Seite c meist waagrecht (als "Grundlinie") gezeichnet. Die Eckpunkte werden mit den entsprechenden Großbuchstaben A, B und C bezeichnet, wobei A der Seite a gegenüberliegt, usw. Die Winkel werden dann mit a, b und g bezeichnet, wobei a der Winkel beim Punkt A ist, usw. Die (Länge der) Höhe auf die Seite c wird meist mit h_c bezeichnet, usw.

Zur Bezeichnung eines ganzen Dreiecks (z.B. um in einer Skizze, die mehrere Dreiecke enthält, eines zu benennen), werden die Namen der Eckpunkte aufgezählt. Man spricht dann beispielsweise vom "Dreieck ABC" oder schreibt einfach das Kürzel DABC. (Aber nicht verwechseln: Das Symbol D - der griechische Buchstabe "Delta" - wird auch für andere Dinge verwendet: Manchmal bezeichnet es einen Winkel, manchmal eine Änderung!).

Zur Benennung eines Winkels in einem Dreieck können auch die drei Eckpunkte angegeben werden, und zwar so, dass der mittlere den Scheitel des Winkels bezeichnet. So kann beispielsweise der Winkel a des obigen Dreiecks auch als "Winkel CAB" benannt oder, unter Verwendung des Winkel-Symbols, einfach in der Form CAB geschrieben werden.

• gleichseitig, wenn alle seine Seiten gleich lang sind (was damit gleichbedeutend ist, dass alle Winkel gleich, d.h. 60°, sind),
• gleichschenkelig, wenn es zwei gleich lange Seiten besitzt (was damit gleichbedeutend ist, dass es zwei gleiche Winkel besitzt),
• rechtwinkelig, wenn es einen rechten Winkel (90°) besitzt,
• spitzwinkelig, wenn alle seine Winkel spitz, d.h. kleiner als 90° sind und
• stumpfwinkelig, wenn es einen Winkel besitzt, der stumpf, d.h. größer als 90° ist.

1. Strecken und Geraden
2. Wissenswertes über ebene geometrische Figuren
3. Kongruenz
4. Ähnlichkeit und der Strahlensatz
5. Satz von Pythagoras ("Pythagoräischer Lehrsatz")

• Über Höhen und Höhenlinien haben wir bereits oben gesprochen. In jedem Dreieck schneiden die Höhenlinien einander in einem Punkt H, dem Höhenschnittpunkt.
   
• Eine Gerade, die auf eine Seitenlinie normal steht und sie halbiert, heißt Seitensymmetrale. In jedem Dreieck schneiden die Seitensymmetralen einander in einem Punkt U. Da dieser Punkt von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt ist, ist er der Umkreismittelpunkt, d.h. der Mittelpunkt jenes (eindeutigen) Kreises (genannt Umkreis), auf dem alle drei Eckpunkte des Dreiecks liegen. Der Radius R des Umkreises heißt Umkreisradius. Wir werden weiter unten zwei Formeln für ihn angeben, siehe (8) und (12).
   
• Eine Gerade, die durch einen Eckpunkt geht und den dort befindlichen Winkel halbiert, heißt Winkelsymmetrale oder Winkelhalbierende. In jedem Dreieck schneiden die Winkelsymmetralen einander in einem Punkt I. Dieser Punkt ist der Inkreismittelpunkt, d.h. der Mittelpunkt jenes (eindeutig bestimmten) Kreises (genannt Inkreis), der alle drei Seitenlinien von innen berührt. Der Radius r des Inkreises heißt Inkreisradius. Wir werden weiter unten zwei Formeln für ihn angeben, siehe (13) und (15).
   
• Eine Gerade, die durch einen Eckpunkt und den Halbierungspunkt der gegenüberliegenden Seite geht, heißt Schwerlinie. In jedem Dreieck schneiden die Schwerlinien einander in einem Punkt S, dem so genannten Schwerpunkt. Physikalisch kann er als Massenmittelpunkt eines Systems aus drei gleich schweren Punktmassen, die an den Eckpunkten des Dreiecks sitzen, gedeutet werden.

• In jedem Dreieck liegen Höhenschnittpunkt, Umkreismittelpunkt und Schwerpunkt auf einer Geraden, der so genannten Eulerschen Geraden.

• im linken (hellblauen) rechtwinkeligen Dreieck als Gegenkathete des Winkels a und
• im rechten (weißen) rechtwinkeligen Dreieck als Gegenkathete des Winkels b

• Im blauen Dreieck (in dem die Seite b die Rolle der Hypotenuse spielt) erhalten wir sina = h_c/b, daher h_c = bsina.
• Im weißen Dreieck (in dem die Seite a die Rolle der Hypotenuse spielt) ergibt sich sinb = h_c/a, daher h_c = asinb.

b sina  =  a sinb.

(4)

csinb = bsing

csina = asing

• Flächeninhalt des Dreiecks:
  Gemäß Formel (2) ist der Flächeninhalt A eines Dreiecks durch "Grundlinie × Höhe/2" gegeben. Dabei es es gleichgültig, welche der drei Seiten als Grundlinie gewählt wird. Damit erhalten wir gleich drei Formeln A = ah_a/2 = bh_b/2 = ch_c/2. Mit ihrer Hilfe können wir die Dreiecksfläche leicht durch die Seiten und Winkel ausdrücken: Wir erinnern uns, dass wir bereits oben h_c = bsina berechnet haben, woraus sich A = bcsina/2 ergibt. Durch Anwendung des Sinussatzes (oder durch Berechnung der anderen Höhen) ergeben sich die drei Formeln
  

  A   =     absing 2    =      bcsina 2    =     casinb 2

  (7)

  
  für den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks. Die Aussage, dass diese drei Ausdrücke gleich sind, ist lediglich eine andere Formulierung des Sinusatzes: Wird (7) durch abc/2 dividiert, so folgt unmittelbar (5).
   
• Umkreisradius des Dreiecks:
  Der Sinussatz (5) drückt aus, dass in jedem Dreieck die drei Verhältnisse "Seitenlänge dividiert durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels" gleich sind. Hat diese Größe, die also auf dreierlei Arten als der Quotient "Seitenlänge dividiert durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels" berechnet werden kann, eine geometrische Bedeutung? Ja - interessanterweise ist sie gleich dem Durchmesser des Umkreises, d.h. dem Doppelten des Umkreisradius R. Daher wird der Sinussatz auch manchmal in der Form
  

  a  sina    =     b  sinb    =     c  sing    =    2R

  (8)

  
  angeschrieben. Der Beweis (siehe den Button rechts, falls er Sie interessiert) benötigt den Peripheriewinkelsatz, auf den wir weiter unten zu sprechen kommen. Wir werden später eine weitere Formel für den Umkreisradius angeben, siehe (12).

• Im unteren (weißen) Dreieck gilt nach dem Satz von Pythagoras c² = h_b² + (b - b')².
• Im oberen (hellblauen) Dreieck schreiben wir die Definitionen von Sinus und Cosinus des Winkels g in der Form h_b = asing und b' = acosg an.

c² = a²sin²g + (b - acosg)²

sin²g + cos²g = 1

c²  =  a²sin²g + b² - 2abcosg + a²cos²g  =  a² + b² - 2abcosg.

c²  =  a² + b² - 2abcosg

Spezialfälle:

• Da cos(90°) = 0 ist, folgt: Ist einer der Winkel ein rechter, so reduziert sich diejenige Formel, die seinen Cosinus enthält, auf den Satz von Pythagoras. Ist etwa g = 90°, so wird (9) zur Aussage c² = a² + b². Worauf reduzieren sich in diesem Fall die Beziehungen (9') und (9'')?
• Eine interessante Folgerung ergibt sich auch, wenn wir den Grenzfall eines "zusammengeklappten" (oder "ausgearteten") Dreiecks betrachten, in dem einer der Winkel 0 ist. Setzen wir etwa g = 0 und verwenden cos0 = 1, so reduziert sich (9) auf die Aussage c² = (a - b)². Können Sie interpretieren, was das bedeutet? Worauf reduzieren sich die Beziehungen (9') und (9'')?

• eine Tabelle der möglichen Fälle gegebener Größen (die mit den Kürzeln SWW, SSW, SWS, und SSS bezeichnet werden) und der Methoden zur Berechnung der restlichen Bestimmungsstücke, sowie
• eine kurze Besprechung der Mehrdeutigkeiten, die mit Dreiecksangaben verbunden sein können.

1. Aufgabe:
   Die in der folgenden Skizze strichliert eingezeichnete Breite eines Gewässers soll bestimmt werden.

   Angabe  |  Schritt 1  |  Schritt 2

   
   Lösung:
   • Schritt 1: Zuerst legen wir eine Skizze an, in der die Größen durch Symbole gekennzeichnet sind. Gegeben sind a = 125m, b = 21.3° und g = 103.5°. Gesucht ist x.
   • Schritt 2: Wir zeichnen den dritten Winkel a ein und berechnen ihn (Winkelsumme im Dreieck = 180°!) zu a = 180° - 21.3 - 103.5° = 55.2°. Nun kann x mit Hilfe des Sinussatzes bestimmt werden: x/sinb = a/sina, daher x = asinb/sina = 125m · sin(21.3°)/sin(55.2°) = 55.3m.
   Die gesuchte Breite des Flusses ist 55.3m.
    
2. Aufgabe:
   Von dem in der folgenden Skizze dargestellten Parallelogramm sind gegeben: a = 7.2,  f = 5.5 und a = 47°. Gesucht sind die Seite b sowie die Winkel b und e (wobei e < 90° vorausgesetzt ist).

   Angabe  |  Schritt 1  |  Schritt 2  |  Schritt 3

   
   Lösung:
   • Schritt 1: Aufgrund der Parallelogramm-Eigenschaft (gegenüberliegende Seiten sind zueinander parallel) wird der Winkel b durch a zu 180° ergänzt, ergibt sich daher unmittelbar zu b = 180° - a = 180° - 47° = 133°.
   • Schritt 2: Der Sinus des Winkels e ergibt sich gemäß dem Sinussatz zu sine/a = sina/f, woraus sine = (a/f)sina = (7.2/5.5)sin(47°) = 0.9574 und daraus e = asin(0.9574) = 73.22° folgt.
   • Schritt 3: Nachdem der zusätzlich benannte Winkel d zu 180° - a - e = 59.78° bestimmt ist (Winkelsumme im Dreieck = 180°!), kann die Seite b durch eine nochmalige Anwendung des Sinussatzes ermittelt werden: b/sind = f/sina, daher b = fsind/sina = 5.5sin(59.78°)/sin(47°) = 6.499.
   Bemerkung: In Schritt 3 hätte man anstelle des Sinussatzes den Cosinussatz anwenden und b aus a,  f und d bestimmen können. Eine weitere Alternative hätte darin bestanden, b mit Hilfe des Sinussatzes aus a, e und d zu bestimmen. Führen Sie diese Rechnungen zur Übung selbst durch!
   Zusatzaufgabe: Was ändert sich, wenn die Bedingung e < 90° nicht gestellt wird?
    
3. Aufgabe:
   Durch einen Berg soll ein Stollen getrieben werden. Der Berg und die Wetterlage verhindern Winkelmessungen, so dass die Lage des Stollens durch folgende Skizze, die nur Längenangaben enthält, festgelegt werden muss. Dabei ist a = 985m, b = 786m, c = 734m und x = 352m. Wie groß ist der Winkel e?

   Angabe  |  Schritt 1  |  Schritt 2  |  Schritt 3  |  Schritt 4

   
   Lösung:
   
   • Schritt 1: Wir sind an dem (nun hellblau hervorgehobenen) Dreieck interessiert, das den Winkel e enthält und bezeichnen den einzigen Winkel dieses Dreiecks, der unmittelbar aus den bisher bekannten Größen berechnet werden kann, mit a.
   • Schritt 2: a kann mit Hilfe des Cosinussatzes aus den Längen a, b und c berechnet werden: cosa = (a² + c² - b²)/(2ac) = 0.6163, daher a = acos(0.6163) = 51.95°.
   • Schritt 3: Wir bezeichnen die Länge der Strecke, auf der der Stollen liegt, mit y. Nun, da a bekannt ist, kann y mit Hilfe des Cosinussatzes aus c, x und a berechnet werden: y² = c² + x² - 2cxcosa, was auf  y = 586.67m führt.
   • Schritt 4: Zuletzt kann der gesuchte Winkel e mit Hilfe des Sinussatzes aus x, y und a bestimmt werden. Führen Sie die Rechnung selbst durch! Sie sollten als Resultat e = 28.20° erhalten.
   Bemerkung: In Schritt 4 hätte man als Alternative den Cosinussatz anwenden können, um e aus c, x und y zu bestimmen. Führen Sie diese Rechnung zur Übung ebenfalls durch!

Manchmal möchte man schnell erkennen, ob zwei Dreieck nur verdrehte und verschobene Versionen voneinander sind. Dabei kann man sich folgender Regeln (Kongruenzsätze) bedienen: Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie

• in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS-Satz).
• in zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS-Satz).
• in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen (SSW-Satz).
  (Stimmen zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem der kleineren Seite gegenüberliegenden Winkel überein, so müssen die Dreiecke nicht kongruent sein - überlegen Sie sich ein Beispiel dazu!)
• in einer Seite und zwei Winkeln übereinstimmen (WSW- und SWW-Satz).

Zwei Dreiecke sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie in zwei (und damit automatisch in allen drei) Winkeln übereinstimmen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre Seitenlängen zueinander proportional sind (d.h. wenn a:b:c = a':b':c', wobei die "ungestrichenen" Symbole zum einen, die "gestrichenen" Symbole zum anderen Dreieck gehören).

In einem rechtwinkeligen Dreieck sei h die Höhe auf die Hypotenuse, und seien p und q die gemäß der nebenstehenden Skizze definierten Hypotenusenabschnitte. Die Länge der Hypotenuse ist c = p + q. Dann gilt:

• Kathetensatz: a² = pc und b² = qc.
  Hierbei handelt es sich um eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras, denn aus dem Kathetensatz folgt a² + b² = (p + q)c = c².
• Höhensatz: h² = pq.
  Gemeinsam mit dem Kathetensatz folgt aus ihm, dass h = ab/c.

Er besagt: Zwei Peripheriewinkel über demselben, von zwei Punkten begrenzten Kreisbogen sind gleich groß. Ist der zugehörige Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel) e, so ist der gemeinsame Peripheriewinkel entweder durch e/2 oder durch 180° - e/2 gegeben, je nachdem, ob der Kreisbogen größer oder kleiner als der Halbkreisbogen ist. Für den Halbkreisbogen (e = 180°) führen beide Formeln zum gleichen Resultat.

Der erste dieser Fälle ist in der nebenstehenden Skizze veranschaulicht. Gegeben sind die Kreislinie sowie die Punkte A und B, und es gilt:

• Von jedem Punkt des oberen (größeren) Kreisbogens aus betrachtet, "sieht" man die Strecke AB unter dem gleichen Peripheriewinkel g.
• Der Zentriwinkel ist e = 2g.

Klicken Sie hier, um Anhaltspunkte für einen Beweis in der Skizze einzublenden: Da die drei strichlierten Strecken Radien des Kreises bilden, sind sie alle gleich lang. Daher besteht die dem Kreis eingeschriebene Figur aus drei gleichschenkeligen Dreiecken. Insbesondere kommen die Winkel a und b je zweimal vor. Nun gilt

• d = 180° - 2a
• w = 180° - 2b
• Mit diesen Informationen berechnen wir den Zentriwinkel zu
  e = 360° - d - w = 360° - (180° - 2a) - (180° - 2b) = 2(a + b), was genau gleich 2g, dem Doppelten des Peripheriewinkels ist. Daher gilt: g = e/2.

Dieses Resultat ist unabhängig von der konkreten Lage des Punktes C auf dem oberen Kreisbogen. Damit ist der Satz für den oberen (größeren) Kreisbogen bewiesen. Beweisen Sie zur Übung selbst, dass sich alle Peripheriewinkel für den unteren (kleineren) Kreisbogen zu 180° - e/2 ergeben!

Für einen Halbkreisbogen (e = 180°) ergibt sich g = 90°, d.h. jeder Peripheriewinkel ist ein rechter! Auf diese Weise ergibt sich der oben besprochene Satz von Thales als Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes.

Die Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes lautet: Die Menge Punkte, von denen aus man eine gegebene Strecke unter einem dem gegebenen Winkel g sieht, bildet ein Kreisbogenpaar (das Sie sich mit Hilfe des nebenstehenden Buttons ansehen können).

Zusätzlich zu (2) und (7) steht eine Reihe weiterer Formeln für den Flächeninhalt eines Dreiecks zur Verfügung. Hier eine Auswahl:

A   =     a2 2    sinbsing  sina    =                          =   2R2sina sinb sing   =     abc 4R  ,

(11)

wobei R der Umkreisradius ist. Analoge Varianten der ersten Formel fär andere Seiten-Winkel-Kombinationen entstehen durch entsprechende Umbenennung der Symbole. Siehe auch Formel (12) für einen Zusammenhang zwischen Fläche und Inkreisradius sowie die Heronsche Flächenformel (14).

Neben (8) kann der Umkreisradius eines beliebigen Dreiecks aus den Seitenlängen und dem Flächeninhalt A mit Hilfe der Formel

R    =     abc  4A

(12)

berechnet werden. Im rechtwinkeligen Dreieck mit Hypotenuse c ist R = c/2.

Wird mit s = (a + b + c)/2 der halbe Umfang eines beliebigen Dreiecks und mit A sein Flächeninhalt bezeichnet, so ist der Inkreisradius durch

r    =     A  s

(13)

gegeben. Siehe auch die unten wiedergegebene die Heronsche Formel (15) für den Inkreisradius. Im rechtwinkeligen Dreieck mit Katheten a, b und Hypotenuse c ist r = (a + b - c)/2.

Sei s = (a + b + c)/2 der halbe Umfang eines beliebigen Dreiecks. Dann gilt:

• Heronsche Flächenformel:

  A   =    _________________ Ö s(s - a)(s - b)(s - c)

  (14)

• Heronsche Formel für den Inkreisradius:

  r   =  Ö ________________  (s - a)(s - b)(s - c) s

  (15)

Diese Formeln sind nach dem antiken Mathematiker Heron von Alexandria, der im 1. Jahrhundert lebte, benannt.

In jedem Dreieck gilt

a + b a - b    =     tan((a + b)/2) tan((a - b)/2)    =    cot(g/2) tan((a - b)/2)   .

(16)

Zwei analoge Formeln für andere Seiten-Winkel-Kombinationen entstehen durch entsprechende Umbenennung der Symbole.

Die Lage (Position) von Punkten (wie Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt, Um- und Inkreismittelpunkt) kann mit den Methoden der Vektorrechnung ermittelt werden. Insbesodere ist der Ort des Schwerpunkts durch eine ganz einfache Formel bestimmt. Darauf wird im ersten Vektor-Kapitel näher eingegangen.

In jedem Dreieck ist

• die Summe zweier Seiten stets größer als die dritte Seite.
• der Betrag der Differenz zweier Seiten stets kleiner als die dritte Seite.

In Formeln: a + b > c, |a - b| < c sowie vier weitere Ungleichungen, die durch entsprechende Umbenennung der Symbole entstehen.

In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der größten Seite, der kleinste Winkel der kleinsten Seite gegenüber. So ist beispielsweise a < b < c genau dann, wenn a < b < g.

Eine weitere Beziehung...

...sei stellvertretend für viele andere genannt: In jedem Dreieck gilt

a2 + b2 + c2  =  2abcosg + 2bccosa + 2cacosb.

(17)

• Wir betrachten eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r und wollen nun Figuren, die auf ihrer Oberfläche (Sphäre) liegen, studieren.
• Eine Schnittlinie zwischen der Sphäre und einer Ebene, die M enthält, wird als Großkreis bezeichnet. Großkreise sind in der sphärischen Geometrie das, was in der ebenen Geometrie die Geraden sind.
• Die Schnittlinien zwischen der Sphäre und Ebenen die M nicht enthalten (so genannte Kleinkreise), sind das, was in der ebenen Geometrie die Kreise sind.
• Zwei (verschiedene) Punkte auf der Sphäre definieren einen eindeutigen Großkreis, auf dem sie liegen, und teilen diesen in zwei Großkreisbögen, von denen der kürzere die kürzeste Verbindung der beiden Punkte (auf der Sphäre) darstellt.
• Werden drei Punkte der Sphäre, die nicht in einer Ebene liegen, durch drei Großkreisbögen verbunden, so entsteht ein sphärisches Dreieck oder Kugeldreieck. Die drei Großkreisbögen werden als Seiten bezeichnet, ihre Längen als Seitenlängen. Die Innenwinkel, unter denen die Seiten einander schneiden, sind die Winkel des sphärischen Dreiecks.
• Die Bezeichnungskonventionen für sphärische Dreiecke sind analog zu den oben besprochenen: Der Winkel a liegt der Seite a gegenüber usw.

• Die Winkelsumme im sphärischen Dreieck ist immer größer als 180° und kleiner als 540°.
  Beachten Sie: Es gibt sphärische Dreiecke mit mehreren rechten Winkeln. (Finden Sie eines!)
• Sphärische Version der Kongruenzsätze (s.o.): Ein sphärisches Dreieck ist eindeutig bestimmt durch
  • drei Seiten (SSS-Satz)
  • zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS-Satz)
  • eine Seite und die beiden anliegenden Winkel (WSW-Satz)
  • drei Winkel (WWW-Satz)
• Sphärisches Analogon zum Satz von Pythagoras: In jedem sphärischen Dreieck mit g = 90° gilt
  

  cos(c/r)  =  cos(a/r) cos(b/r).

  (18)

  
  
• Sphärisches Analogon zum Sinussatz: In jedem sphärischen Dreieck gilt
  

  sin(a/r)  sina    =     sin(b/r)  sinb    =     sin(c/r)  sing  .

  (19)

  
  
• Dreiecksfläche: Sind alle Winkel im Bogenmaß ausgedrückt, so ist der Flächeninhalt eines sphärischen Dreiecks durch
  

  A  =  r2(a + b + g - p).

  (20)

  
  gegeben. Die Kombination a + b + g - p gibt an, wie stark die Winkelsumme von p (d.h. 180°) abweicht und wird als sphärischer Exzess ("Überschuss") bezeichnet. In der ebenen Trigonometrie wäre diese Größe gleich 0. (Wenn Sie auf einer Kugel leben, können Sie mit Hilfe dieser Formel durch Messung der Winkel und des Flächeninhalts eines beliebigen sphärischen Dreiecks auf den Radius der Kugel schließen!)

Ebene Trigomonetrie als Grenzfall: Ein Dreieck, dessen Seitenlängen sehr viel kleiner als der Radius r der Sphäre ist, ist "fast eben". Für solche Dreiecke gelten die in diesem Kapitel besprochenen Sätze der ebenen Trigonometrie näherungsweise. Im "Grenzfall r ® ¥" ("unendlich große Sphäre") werden sie exakt: So geht beispielsweise die Beziehung (18) in den Pythagoräischen Satz c² = a² + b² und (19) in den Sinussatz über. Interessant ist in diesem Zusammenhang auch die Flächenformel (20): Für ein Dreieck mit gegebenen Seitenlängen wird der sphärische Exzess im "Grenzfall r ® ¥" immer kleiner (die Winkelsumme nähert sich immer näher an p, also 180°, an), während der Faktor r² unbeschränkt anwächst. Das Produkt dieser beiden Größen benimmt sich aber recht anständig und wird schließlich zum Flächeninhalt des ebenen Dreiecks mit den gegebenen Seitenlängen. Die Techniken, die nötig sind, solche Grenzübergänge rechnerisch durchzuführen (vor allem die so genannten Reinenentwicklungen) werden allerdings erst in späteren Kapiteln behandelt.