Variable, Terme, Formeln und Identitäten

Zusammenfassung:
Dieses - relativ lange - Kapitel soll Sie mit einigem nützlichen Werkzeug ausrüsten. Es hängt mit ''Buchstabenrechnen'' und dem Umformen mathematischer Ausdrücke, insbesondere dem Umgang mit Klammern, zusammen. Sie werden die hier besprochenen Techniken oft benützen und vielleicht gelegentlich auf dieses Kapitel zurückgreifen.

Mehrere Abschnitte gehen ganz oder teilweise ein bißchen tiefer als zu Beginn nötig; die entsprechenden Stellen können von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden. Darauf wird jeweils eigens hingewiesen.


Stichworte:
Wieso Buchstaben? | Kommutativgesetz der Addition | Kommutativgesetz der Multiplikation | Klammern ausmultiplizieren (Distributivgesetz) | Variable | Terme | Potenzen | Polynome | Koeffizienten | Grad (Ordnung) eines Polynoms | Bruchterme | Terme mit Wurzeln | Identitäten | º | Formeln | Formeln als Abkürzungen (Definitionen) | Heron'sche Flächenformel | Einheiten | Umformen von Termen | Rechnen mit Klammern (ausmultiplizieren und herausheben) | Multiplikation von Klammerausdrücken | Computer-Algebra-Systeme (CAS) helfen | faktorisieren | Polynome faktorisieren mit Mathematica | Umformen von Bruchtermen, kürzen | Häufig auftretende Identitäten: die Binomischen Formeln | Strukturerkennung | Potenzen einer Summe (Binomische Formeln, verallgemeinert) | Pascalsches Dreieck | Binomialkoeffizienten | Faktorielle | Zusammenhang Faktorielle und Binomialkoeffizienten
 
                                                                                                                                                                                                                                               
    
Wieso Buchstaben?
        
    

Mathematik hat etwas mit ''Rechnen'' zu tun. Aber schon ein Blick in ein fortgeschrittenes Mathematikbuch zeigt, daß dort weniger mit Zahlen als mit Buchstaben ''gerechnet'' wird. Was soll das sein - ''mit Buchstaben rechnen''? Tatsächlich geht es in weiten Teilen des Mathematikstoffs um das Rechnen mit Zahlen - nur sieht man das auf den ersten Blick nicht mehr! Und das kommt so:

Sobald das Interesse über das Hantieren mit einzelnen Zahlen hinausgeht, stellen sich Beobachtungen allgemeinerer Natur ein. Wie sind eigentlich die Rechenregeln beschaffen, die wir - mehr oder weniger automatisch - anwenden, um mit Zahlen umzugehen? Eine der einfachsten Regeln ist diese: Beim Addieren von reellen Zahlen (und daher auch von natürlichen, ganzen und rationalen) kommt es auf die Reihenfolge nicht an. So ist z.B.

     

Zahlenmengen
 
 
    
2 + 3 = 3 + 2,
(1)
und es ist auch 3 + 7 = 7 + 3 und 1.3 + 17 = 17 + 1.3, und wir können viele Beispiele für diese Regel angeben. Kurz und bündig ausgedrückt, es ist
x + y = y + x,
(2)
wenn x und y reelle Zahlen sind. Hier haben wir schon eine Aussage, die von Zahlen handelt, aber in der nur Buchstaben vorkommen - ein Beispiel für ''Buchstabenrechnen''. Sie heißt Kommutativgesetz der Addition.

Ebenso gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation

x y = y x,
(3)
wenn x und y reelle Zahlen sind. (Zur Erinnerung: das Symbol × für die Multiplikation schreiben wir nur an, wenn ansonsten Verwechslungsgefahr besteht).

Eine weitere Aussage dieses Typs, welche Addition und Multiplikation kombiniert, ist

a (b + c) = a b + a c
(4)
für alle reellen Zahlen a, b, c und heißt Distributivgesetz oder ''Klammern ausmultiplizieren'' (''Klammern auflösen''). Wir haben sie schon in einem früheren Kapitel so genannt.
     

Distributivgesetz
 
 
    
Zur Illustration setzen wir anstelle von a, b und c konkrete Zahlen ein. Werten wir die linke und die rechte Seite von (4) für a = 2, b = 3 und c = 4 aus:
linke Seite von (4) :    2 (3 + 4) = 2 × 7 = 14
rechte Seite von (4):   2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14.
(5)
Wir sehen, daß sich beide Seiten auf dieselbe Zahl reduzieren, nämlich 14, haben die Aussage (4) also durch das Einsetzen konkreter Zahlen überprüft. Auch für jede andere konkrete Wahl der drei Zahlen ist (4) eine wahre Aussage. Es handelt sich offensichtlich um eine allgemeine Eigenschaft der reellen Zahlen.

Eine Rechenregel, die im Umgang mit negativen Zahlen nützlich ist, lautet

-(-u) = u,
(6)
wenn u eine reelle Zahl ist. Das Negative vom Negativen einer Zahl ist sie selbst (oft als ''minus minus = plus'' abgekürzt). Damit verwandte Regeln sind (-a) (-b) = a b, (-1) z = -z und x(-y) = - x y, die für beliebige reelle Zahlen gelten.


     

3 Rollen des
Minuszeichens



 
    
Variable und Terme
     
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In allen oben behandelten Fällen stehen Buchstaben für Zahlen. Genauer gesagt, stehen abstrakte Symbole für konkrete Zahlen. Es ist dies die einfachste Weise, sich nicht von Vornherein auf bestimmte Zahlen festzulegen, sondern allgemeine Aussagen zu treffen. Symbole (Buchstaben), die in einer solchen Eigenschaft auftreten, nennen wir Variable. Da sie für Zahlen stehen, die jederzeit eingesetzt werden können, werden sie auch Platzhalter genannt - sie ''halten den Platz'' für Zahlen. Dieser Begriff wird später verschiedene Schattierungen bekommen, aber hier haben wir die Grundidee bereits vor uns: Ein Symbol (wie z.B. x) soll für eine Zahl stehen - wir wollen uns aber nicht festlegen, für welche, und halten es deshalb ''variabel''.

Ein Ausdruck, der aus Variablen besteht, für die Zahlen eingesetzt werden können, wird Term genannt. Beispiele für Terme sind x, a + b und -(-s), aber auch kompliziertere Ausdrücke wie

x2,      a2 (x - y)      und      a2 + b2.
(7)


Potenzen


     
 
 
     Potenzen wie die in (7) auftretenden Quadrate werden genauso wie für konkrete Zahlen angeschrieben: a0 für 1 , a1 für a , a2 für a × a , a3 für a × a × a usw. Allgemein hat eine Potenz die Form an, wobei n Hochzahl oder Exponent heißt. (Manchmal wird dafür auch a^n geschrieben). Für Potenzen gelten die Rechenregeln
(a b)2 = a2 b2              (a b)3 = a3 b3,
(8)
wobei a und b für beliebige Zahlen stehen, und ganz allgemein
(a b)n = an bn,
(9)
     

Potenzen von
Zahlen
 
     wobei nun n für eine beliebige nicht-negative ganze Zahl steht. Eine weitere wichtige Rechenregel für Potenzen ist

an am = am + n.
(10)
(Beispiel: a2 × a3 = a × a × a × a × a  =  a5 ). In einem späteren Kapitel werden wir den Begriff der Potenz verallgemeinern und auch negative, rationale und schließlich beliebige reelle Zahlen für n zulassen (wobei allerdings dann a positiv sein muß). Die Gültigkeit all dieser Rechenregeln wird dabei bestehen bleiben.
     

Hochzahlen, die
keine natürlichen
Zahlen sind
 
    


Polynome und Koeffizienten


Terme, die aus Variablen und Zahlen mit Hilfe der Operationen Multiplikation, Addition und Subtraktion gewonnen werden können, heißen Polynome (oder auch "ganzrationale Terme"). So ist z.B.
5 x5 + 4 x3 -7 x2 + x - 1
(11)
ein Polynom in der Variablen x und
3
2
 a3 b2  -  2.17 a3 b  +  5 a b2
3
 -  a  +  2p b
(12)
ein Polynom in den Variablen a und b. Die hier auftretenden Zahlen 5, 4, -7, 1, -1 für das erste und 3/2, -2.17, 5/3, -1, 2p für das zweite Polynom heißen Koeffizienten. (Im ersten Fall sind sie ganzzahlig, im zweiten nicht. Beachten Sie: p ist lediglich eine Abkürzung für die reelle Zahl 3.1415925..., keine Variable! Nicht jeder Buchstabe ist automatisch eine Variable). Ein Polynom, das nur aus einer einzigen Potenz und einem Koeffizienten besteht, wie 3 x5, wird Monom genannt.

Hängt ein Polynom von einer einzigen Variablen ab, so wird die höchste auftretende Potenz dieser Variablen als Grad oder Ordnung des Polynoms bezeichnet. So ist beispielsweise (11) ein Polynom fünften Grades. Ein Polynom zweiten Grades heißt quadratisch, ein Polynom dritten Grades heißt kubisch. Eine Konstante (in der die Variable gar nicht vorkommt) wird auch als Polynom nullten Grades bezeichnet (da x0 = 1 ist).

Polynome treten in der Mathematik häufig auf und werden uns noch oft begegnen.

     

weitere
Eigenschaften
von Polynomen


 
 
    


Bruchterme


Nehmen wir die Division hinzu, so können wir Bruchterme wie
x
2 y
 ,       a + b
a - b
      und       p
u
 ( v2 - w2 )2
(13)
bilden. (Hier sollten wir bedenken, daß durch jede Zahl dividiert werden darf außer durch Null! Es kann also passieren, daß für manche konkrete Wahl der Variablen ein Term nicht definiert ist. (Setzen Sie z.B. x = 2, y = 0 im ersten dieser Terme, a = 3, b = 3 im zweiten und u = 0, v = 5, w = 5 im dritten ein!) Aber das soll uns im Moment nicht weiter stören. Wir einigen uns darauf, in einen Bruchterm nur solche Zahlen einzusetzen, für die der Nenner nicht Null wird.
     

Division durch 0




 
    
Da die Potenz eines Bruchs der Bruch der Potenzen ist, gilt immer


a
b


n

 
= an
bn
.
(14)
     


Potenz eines Bruchs
 
     Wir werden uns weiter unten mit der Bruchrechnung von Termen beschäftigen.


Terme mit Wurzeln


Terme dürfen auch Wurzeln enthalten, wie z.B.
  _____
Ö x + 6
 
 +   _____
Ö x - 2
 
,
(15)
     

Wurzeln


 
 
     wobei hier zu bedenken ist, daß eine negative Zahl keine Wurzel besitzt. So hat dieser Term für x = 3 den Wert 4 (rechnen Sie nach!), ist aber für x = 1 nicht definiert (rechnen Sie auch das nach!).

Zwei nützliche Rechenregeln im Zusammenhang mit Brüchen:

  • Die Wurzel eines Produkts ist das Produkt der Wurzeln:  Ö(a b) = Öa Öb.
  • Die Wurzel eines Bruchs ist der Bruch der Wurzeln aus Zähler und Nenner:  Ö(a / b) = Öa / Öb.
(Aus drucktechnischen Gründen wird der Oberstrich manchmal weggelassen, sodaß die Wurzel aus a als Öa geschrieben wird).




Wir betonen nochmals, daß ein Term erst dann zu einer Zahl wird, wenn konkrete Zahlen anstelle der Variablen eingesetzt werden. Welchen Wert ein Term dann annimmt, hängt von den eingesetzten Zahlenwerten der Variablen ab. (So hängt z.B. der Wert des Terms x2 + x + 1 davon ab, welche Zahl für x eingesetzt wird). Solche Abhängigkeiten sind in der modernen Mathematik extrem wichtig. Wir werden sie später als Funktionen bezeichnen.


     

Funktionen


 
    
Identitäten
     
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Nun wissen wir, was ein Term ist, aber was fangen wir damit an? Eine Anwendung haben wir bereits oben gesehen: Rechenregeln für den Umgang mit reellen Zahlen lassen sich mit Hilfe von Variablen und Termen sehr einfach hinschreiben. Sie haben alle dieselbe Grundstruktur - sie bestehen aus zwei Termen, die zwar verschieden aussehen, aber dennoch immer zum selben Resultat führen, wenn konkrete Zahlen für die Variablen eingesetzt werden. Solche Aussagen heißen Identitäten. Wann immer die Variablen durch konkrete Zahlen ersetzt werden, reduzieren sich Identitäten auf wahre Aussagen.

Die Aussagen (2), (3), (4), (6), (8), (9), (10) und (14) sind Beispiele für Identitäten. Wir können sie auch benützen, um weitere Regeln aufzustellen, die immer gelten. So ist z.B.

x ( y2 + z2 ) = x y2 + x z2,
(16)
was eine einfache Folgerung aus (4) ist: Die Regel (4) wurde hier nicht für a, b, c angeschrieben, sondern für x, y2, z2, aber das ist ebenso zulässig, denn diese drei Terme sind ja selbst wieder Zahlen, wann immer für x, y, z konkrete Zahlenwerte angenommen werden. Folglich handelt es sich bei (16) wieder um eine Identität. Um sicherzugehen, daß wir keinen Fehler gemacht haben, können wir eine Probe machen. Setzen wir irgendwelche Zahlenwerte an, z.B. x = 3, y = 2 und z = 5, und berechnen wir beide Seiten dieser Aussage separat:

    linke Seite:
3 ( 22 + 52 ) = 3 ( 4 + 25 ) = 3 × 29 = 87
(17)
    rechte Seite:
3 × 22 + 3 × 52 = 3 × 4 + 3 × 25 = 12 + 75 = 87,
(18)
womit die Probe geglückt ist. Wichtig ist es, bei einer Probe beide Seiten unabhängig voneinander zu berechnen und nicht etwa Klammern auszumultiplizieren - denn dann könnten wir einen möglichen Fehler mit den eingesetzten Zahlen wiederholen und gar nicht bemerken.

Identitäten dienen zwei Zwecken: Einserseits können sie tiefe Einblicke in die Eigenschaften der Zahlen geben, und andererseits können sie schlicht und einfach praktisch sein. Heben wir uns die Einblicke noch ein bißchen auf und betrachten wir ein Beispiel für den nützlichen Aspekt, auf den wir in diesem Kapitel noch ein paar mal zurückkommen werden:

Wie groß ist die Fläche der Außenmauer eines Hauses (das der Einfachheit halber keine Türen und Fenster haben soll)? Werden Länge und Breite des Grundrisses mit a und b, die Höhe mit h bezeichnet, so besteht die Außenmauer aus vier Rechtecken, und die Fläche ergibt sich durch Addition der vier Teilflächen zu

a h + b h + a h + b h.
(19)
Niemand wird in der Praxis diesen Ausdruck verwenden, um die Fläche zu berechnen, denn er läßt sich erheblich vereinfachen. Versuchen Sie, sich selbständig davon zu überzeugen, daß die Aussage
a h + b h + a h + b h = 2 h (a + b)
(20)
eine Identität ist, d.h. daß sie für alle konkreten Zahlenwerte für a, b und h wahr ist! Daher kann die Fläche auch als
2 h (a + b)
(21)
geschrieben werden, und dieser Ausdruck enthält weniger Multiplikationen und sieht auch rein optisch übersichtlicher aus als (19). Wir haben also die Identität (20) benützt, um den Ausdruck für die Fläche des Hauses zu vereinfachen (oder, wie man auch sagt, umzuformen - wir werden die wichtigsten praktischen Regeln für das Umformen von Termen unten genauer besprechen).

Identitäten, also Rechenregeln, machen es uns leicht, gewisse Terme als ''praktisch gleich'' zu erkennen, als ''dieselbe Sache, nur anders angeschrieben''. Es ist bequem, Terme wie (19) und (21) als ''gleich'' anzusehen, bestenfalls als unterschiedlich angeschriebene Varianten voneinander.

In Identitäten können nicht nur konkrete Zahlen anstelle der Variablen eingesetzt werden, sondern auch Terme, da ja auch in diesen Termen jede Variable für eine Zahl steht. So ist z.B. die Aussage

(a + 2) ( u2 + w2 ) = ( u2 + w2 ) (a + 2)
(22)
eine Folge der Identität x y  =  y x, wobei anstelle von x und y die Terme a + 2 und u2 + w2 eingesetzt wurden. Sie ist also selbst eine Identität, d.h. für alle Zahlenwerte von a, u und w eine wahre Aussage. Auf diese Weise können aus einfachen Identitäten kompliziertere gefunden werden. Jede Identität kann als bewiesener mathematischer Satz angesehen werden.

Zur Schreibweise: Manchmal wird das Symbol º (ausgesprochen: "identisch") verwendet, um Identitäten (insbesondere solche, die ohne weitere Rechnung unmittelbar einsichtig sind) anzuzeigen. Wenn Sie etwa irgendwo die Aussage a × a º a2 sehen, so ist damit einfach gemeint, dass das Produkt von a mit sich selbst auch abgekürzt als a2 angeschrieben werden kann. In diesem Fall kann das Symbol º als "unmittelbar identisch" gelesen werden. Es wird aber bisweilen auch dazu verwendet, um Definitionen zu kennzeichnen (siehe unten).


     
 
 
    
Formeln
     
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Eine Formel ist ein Term, der irgendeine interessante Größe darstellt. (Es liegt dann eine Formel für diese Größe vor). Manchmal werden auch ganz allgemein mathematische Aussagen, in denen Terme vorkommen (wie z.B. Identitäten) als Formeln bezeichnet. Der Begriff ist ein bißchen unscharf. (Wenn Sie ein Mathematik- oder Physikbuch aufschlagen, erkennen Sie auf den ersten Blick, daß es ''voller Formeln'' ist. Und wenn Sie vor lauter Symbolen dann den Überblick verlieren, werden Sie vielleicht von ''Formelsalat'' sprechen).

Formeln treten oft als Abkürzungen auf, die uns Schreibarbeit ersparen. So kann z.B. der Term

(a + b)2 + (r - t)3
(23)
als
A2 + B3
(24)
geschrieben werden, wobei A für a + b und B für r - t steht. Die Zuweisungen
A = a + b                    B = r - t
(25)
sind Formeln, die einfach bequeme Abkürzungen (d.h. Definitionen der Größen A und B) darstellen.

Anhand eines Applets können Sie das Einführen von Abkürzungen üben.

     
Applet
Strukturen
erkennen 1
 
    
Formeln werden auch dazu benützt, um Erkenntnisse (also mathematische Aussagen) kurz und bündig auszudrücken. So ist z.B. die Fläche eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b durch das Produkt a b gegeben. Bezeichnen wir die Fläche mit dem Buchstaben F, so können wir die Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks als
F = a b
(26)
schreiben. Einige weitere Beispiele: Die Fläche eine Kreises mit Radius r ist durch
F = pr2
(27)
und die Länge seines Umfangs durch
u = 2pr
(28)
gegeben. Volumen und Oberfläche einer Kugel mit Radius r sind
V = 4p
3
 r3       und       F = 4pr2.
(29)

Formeln können als kompakte Mitteilungen nützliche Dienste leisten. Beispiel: Die Fläche eines Dreiecks mit Seitenlängen a, b und c kann mit Hilfe der Formel

F =   __________________
Ö s (s - a) (s - b) (s - c)
 
(30)
berechnet werden, wobei s für den halben Umfang steht: s  = 1/2 (a + b + c). Sie heißt Heron'sche Flächenformel und war - wie der Name sagt - schon in der Antike bekannt. Mit ein bißchen Geometrie kann man verstehen, warum sie gilt. Sie kann aber auch ganz ohne Verständnis angewandt werden. Wir berechnen z.B. den Flächeninhalt eines Dreiecks, dessen Seitenlängen 5, 6 und 7 sind: Mit a = 5, b = 6 und c = 7 ergibt sich s = 9, und damit ist die Fläche
F
=
  __________________
Ö9 (9 - 5) (9 - 6) (9 - 7)
 
=
  ___________
Ö9 × 4 × 3 × 2
 
(31)
=
  ______
Ö36 × 6
 
  =  6 Ö6.
Ist so eine Formel erst einmal hingeschrieben, nimmt sie den Charakter einer sturen Input-Output-Maschine an: In unserem Beispiel füttern wir Zahlenwerte für a, b und c hinein und bekommen die Fläche des Dreiecks heraus.

Das Verständnis für das Zustandekommen einer Formel mag schwer zu erlangen sein, ihre Anwendung ist aber in der Regel leicht. Für AnwenderInnen ist eine Formel lediglich eine Anweisung für Berechnungen. Darin besteht ihre Nützlichkeit in vielen Bereichen von Wissenschaft, Technik und Wirtschaft.

Beim Umgang mit Formeln muß manchmal eine Sache berücksichtigt werden, die wir bis jetzt unter den Teppich gekehrt haben: Variablen stehen nicht nur für Zahlen, sie können auch Einheiten tragen. Das ist z.B. besonders wichtig, wenn es um physikalische Formeln geht. Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie einige Bemerkungen über das Rechnen mit Einheiten aufrufen.

     
 
    
Sie können Ihr Gefühl für Einheiten überprüfen, indem Sie den nebenstehenden Button anklicken und einen mathematischen Scherz aufklären.

     
 
     Formeln können mit Hilfe von Identitäten verschönert werden. Wir haben oben einen solchen Fall kennengelernt: Die Fläche der Außenmauer eines Hauses ist durch
F = a h + b h + a h + b h.
(32)
gegeben (a, b = Länge und Breite des Grundrisses, h  = Höhe). Aufgrund der Identität (20) waren wir in der Lage, sie in der schöneren Form
F = 2 h (a + b)
(33)
zu schreiben.

Wir erwähnen abschließend, dass das Symbol º, das wir oben bei den Identitäten kennengelernt haben, bisweilen auch für Abkürzungen (Definitionen) verwendet wird. Formel (27) könnte damit auch in der Form F º pr2 geschrieben werden.


     
 
 
    
Umformen von Termen
     
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Rechnen mit Klammern - ausmultiplizieren und herausheben


Identitäten werden - wie das obige Beispiel der Fläche der Außenmauer eines Hauses zeigt - zur Umformung von Termen benützt. Oft ist es nützlich oder notwendig, mehrere Umformungs-Schritte hintereinander auszuführen. Beginnen wir etwa mit dem Term 3 (x + 2) - 2 x. Eine Möglichkeit, ihn zu vereinfachen, besteht darin, zuerst die Klammer aufzulösen (den 3er ''hineinzumultiplizieren'' - das ist nichts anderes als die Anwendung des Distributivgesetzes), dann die Reihenfolge der Bestandteile zu vertauschen (Kommutativgesetz der Addition) und schließlich Vielfache von x zusammenzufassen (Distributivgesetz). Die ausführliche Rechnung sieht dann so aus:
3 (x + 2) - 2 x
=
3 x + 6 - 2 x = 3 x - 2 x + 6
=
(3 - 2) x + 6 = x + 6.
                                                            
(34)
All diese Ausdrücke ergeben denselben Wert, wenn für x eine Zahl eingesetzt wird. (Machen Sie die Probe mit x = 4 !) Der letzte ist ohne Zweifel der einfachste (der ''schönste''). In der Praxis wird man sich das Anschreiben mancher Einzelschritte sparen, wenn man sie im Kopf durchführen kann. Üblicherweise sieht die Rechnung dann so aus:
3 (x + 2) - 2 x = 3 x + 6 - 2 x = x + 6.
(35)

Manchmal - so wie im gerade betrachteten Beispiel - vereinfachen sich Terme, wenn alle Klammern ausmultipliziert werden. In anderen Fällen ist es günstiger, das Gegenteil zu erreichen. Falls ein Term eine Summe darstellt, deren Bestandteile (Summanden) einen gemeinsamen Faktor besitzen, kann man diesen ''herausheben''. Beispiel: Die Summanden des Terms x + x y + x2 haben x als gemeinsamen Faktor. Daher können wir schreiben

x + x y + x2 = x (1 + y + x),
(36)
wodurch für ein einigermaßen an diese Dinge gewöhntes Auge eine Verschönerung eingetreten ist. (Der zweite Term kann in Worten so beschrieben werden: ''Addiere x und y, zähle 1 hinzu, und multipliziere das Resultat mit x !'' Versuchen Sie, auch den ersten Term in Worten zu beschreiben, und Sie werden den Unterschied merken!) Auch im oben besprochenen Beispiel der Fläche der Außenmauer eines Hauses wurde die Vereinfachung durch Herausgeheben erzielt. Wird noch ein Zwischenschritt eingefügt, so sieht die ausführliche Rechnung so aus:
a h + b h + a h + b h = 2 a h + 2 b h = 2 h (a + b).
(37)

Klammern ausmultiplizieren (auflösen) und Terme herausheben sind entgegengesetzte Rechenvorgänge.Wir betonen nochmals, daß das Rechnen mit Klammern auf elementaren Eigenschaften von Zahlen - wie z.B.  2×(4 + 7) = 2×4 + 2×7  - beruht, denn alle Variablen stehen ja für Zahlen!

In der Praxis wird uns oft das Gefühl sagen müssen, welche Umformungen eines Terms die sinnvollsten sind. Beispiel:

2 x + 2 y + 2 z + 1 = 2 (x + y + z) + 1 .
(38)
Klammern ausmultiplizieren und herausheben können also auch auf Teile eines Terms angewandt werden. Hier bleibt es ein bißchen Geschmackssache, welcher der beiden Terme ''schöner'' ist.

Ein wichtige, sehr oft auftretende Situation besteht, wenn zwei Klammerausdrücke multipliziert werden, wie z.B. im Fall des Terms

(a + b) (x + y).
(39)
Auch hier können die Klammern ausmultipliziert werden. Belassen wir den Term (x + y) zunächst als Klammerausdruck stehen und wenden die Regel für das Klammern-Ausmultiplizieren auf (a + b) an. Wir erhalten
(a + b) (x + y) = a (x + y) + b (x + y),
(40)
was durch weiteres Klammern-Ausmultiplizieren zu
a x + a y + b x + b y
(41)
führt. Wir erhalten also die Identität
(a + b) (x + y) = a x + a y + b x + b y.
(42)
Betrachten wir sie einen Moment: Sie besagt, daß beim Berechnen des Produkts von Summen jeder Summand aus der ersten Klammer mit jedem Summand aus der zweiten Klammer multipliziert werden muß. Diese Regel sollten Sie sich merken!

Drei Beispiele für diese Regel:

(3a+w) (b+2a)
=
3ab + 3a×2a + wb + w×2a
=
3ab + 6a2 + wb + 2wa
                                                            
(43)
(3a+w) (b-2a)
=
3ab + 3a×(-2a) + wb + w×(-2a)
=
3ab - 6a2 + wb - 2wa
                                                            
(44)
(3a-1) (3a-2)
=
9a2 - 6a - 3a + 2 = 9a2 - 9a + 2 ,
                                                            
(45)
wobei wir die ersten zwei Beispiel ausführlicher, das dritte etwas kompakter angeschrieben haben. Beachten Sie, wie mit den Minuszeichen umgegangen wird. Sie sollten generell bei derartigen Rechnungen so viele Zwischenschritte anschreiben, wie Sie benötigen, um den Überblick nicht zu verlieren. Im Laufe der Zeit werden sich viele Rechenregeln soweit automatisieren, daß Sie mehrere Schritte im Kopf durchführen und nur wenig hinschreiben werden.

Dasselbe Verfahren kann angewandt werden, wenn die Klammerausdrücke aus mehr als zwei Summanden bestehen, und wenn mehr als zwei solche Ausdrücke miteinander multipliziert werden sollen. (Siehe nebenstehenden Button für zwei Beispiele).

     
 
    
Ein weiteres Beispiel betrifft die Struktur von Termen wie
1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9.
(46)
Hier können wir leicht auf ein überraschendes Resultat stoßen. (Siehe nebenstehenden Button). Mit seiner Hilfe werden wir später unendliche Summen (so genannte Reihen) betrachten.
     

Reihen
 
    

Klammern ausmultiplizieren ist also ein sturer Prozeß, ein Rezept, das nicht viel Nachdenken erfordert, sondern nur etwas Überblick (Buchhaltung der auftretenden Variablen und Zahlen). Es kann leicht automatisiert werden. Computer-Algebra-Systeme (CAS) wie Mathematica oder Maple sind sehr mächtige Werkzeuge, zu deren einfachsten Fähigkeiten das fehlerfreie Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken zählt. Aber auch das vergleichsweise schwächere Programm DERIVE - das an vielen Schulen zur Verfügung steht - und die kompakten Rechner TI-92 und TI-89/Voyage 200 können dies. Versuchen Sie, trotz der Existenz solcher Hilfsmittel, prinzipiell zu verstehen, was beim Rechnen mit Klammern passiert!


Achtung: Das Ausmultiplizieren von Klammern ist eine Technik, die angewandt werden kann, aber durchaus nicht immer sinnvoll ist. (Insbesondere, wenn das Resultat unübersichtlicher ist als der ursprüngliche Term). Beim kreativen Umgang mit mathematischen Ausdrücken ist es daher nicht sinnvoll, jede Klammer reflexartig auszumultiplizieren.


Faktorisieren


Manchmal stellt sich sogar das umgekehrte Problem: Es ist ein Term gegeben, und man würde gern wissen, ob er sich als Produkt mehrerer Ausdrücke schreiben läßt (d.h., ob er sich faktorisieren läßt). Beispiel: Gegeben sei der Term
x2 + 3 x + 2.
(47)
Nehmen Sie ein Blatt Papier zur Hand und überzeugen Sie sich, daß er nichts anderes ist als die ausmultiplizierte Version von
(x + 1) (x + 2).
(48)
Weiteres Beispiel: Gegeben sei der Term
x3 - 6 x2 + 11 x - 6.
(49)
Nehmen Sie ein Blatt Papier zur Hand und überzeugen Sie sich, daß er nichts anderes ist als die ausmultiplizierte Version von
(x - 1) (x - 2) (x - 3).
(50)
Welchen der beiden Terme (49) oder (50) finden Sie einfacher? Leider ist es nicht immer leicht, festzustellen, ob ein gegebenen Term tatsächlich ein Produkt von (einigermaßen einfachen) Ausdrücken ist oder nicht. So ist z.B. im Fall des Terms x3 - 6 x2 + 11 x - 5 die Antwort negativ. Er läßt sich zwar als Produkt schreiben, aber die Faktoren sind sehr kompliziert. (Wir schreiben sie gar nicht hin!) Einige Regeln, die uns derartige Betrachtungen erleichtern, werden wir weiter unten kennenlernen, wenn wir häufig auftretende Identitäten (die sogenannten Binomischen Formeln) besprechen. Ein systematisches Verfahren für einfache Terme liefert der ''Satz von Vieta'', mit dem wir uns in einem späteren Kapitel beschäftigen werden. Ein weiteres Verfahren läuft darauf hinaus, Polynome durcheinander zu dividieren und einen "Rest" zu ermitteln, ähnlich wie dies für Zahlen möglich ist. Wir werden es später kennenlernen.

     

Satz von Vieta



 
     Computer-Algebra-Systeme können auch hier weiterhelfen. So bietet z.B. das MathServ Project an der Vanderbilt University eine Web-Seite zum Faktorisieren von Polynomen:

Sie können ein Polynom eingeben, und das Programm (das Computer-Algebra-System Mathematica) findet heraus, ob es als Produkt einfacher Faktoren geschrieben werden kann. (Ein "einfacher" Faktor ist dabei in der Regel einer, der mit ganzen Zahlen als Koeffizienten - und gegebenenfalls der Division durch eine ganze Zahl - auskommt. Die Auswahl ''Gaussian Integers'' auf dieser Web-Seite betrifft ein Zahlensystem, das wir später besprechen werden, die komplexen Zahlen). Versuchen Sie es mit dem Polynom (49)! (Dazu tippen - oder pasten - sie einfach x^3 - 6 x^2 + 11 x - 6 in das Textfeld).
     

Komplexe Zahlen
 
 
    


Umformen von Bruchtermen


Wenden wir uns nun Termen zu, in denen dividiert wird, also Bruchtermen. Bei deren Umformungen gelten dieselben Regeln, die wir für die Bruchrechnung mit Zahlen kennengelernt haben.
     

Bruchrechnen
 
    

Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie einige Bemerkungen und Beispiele zum Rechnen mit Bruchtermen aufrufen.

     

mit Termen
 
     Das Kürzen von Bruchtermen ist eine wichtige Sache und gibt immer wieder Anlaß zu Mißverständnissen. Bitte beachten Sie, daß Sie nur gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner kürzen dürfen. So ist z.B. die Rechnung
4a + 14b
2x - 6
= 2a + 7b
x - 3
(51)
richtig: Es wurde durch 2 gekürzt: jeder Summand in Zähler und Nenner wurde durch 2 dividiert. Dieselbe Rechnung kann ausführlicher als
4a + 14b
2x - 6
= 2 (2a + 7b)
2 (x - 3)
=  2   (2a + 7b)
 2   (x - 3)
= 2a + 7b
x - 3
                                                            
(52)

geschrieben werden: Hier ist 2 als gemeinsamer Faktor ganz deutlich erkennbar.

Hingegen ist die Rechnung

5a + b
5x - 1
= a + b
x - 1
(53)
falsch: Es wurde nicht durch 5 gekürzt, da 5 gar kein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner ist! (Machen Sie die Probe für a = b = 1 und x = 2 !)

Genau dieselbe Regel gilt, wenn Sie durch Variable oder ganze Terme kürzen. Richtig ist:

x3 + 2x
x2 - x
= x2 + 2
x - 1
 
(54)
(es wurde durch x gekürzt). Falsch ist:
a x + 1
a x - 1
=  a   x + 1
 a   x - 1
= x + 1
x - 1
 .
(55)



     
 
 
    
Häufig auftretende Identitäten:
die Binomischen Formeln
     
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Einige Identitäten werden so oft bei verschiedensten Gelegenheiten benützt, daß wir sie hier eigens zusammenstellen. Sie können sie mit Hilfe der im vorigen Abschnitt besprochenen Methoden leicht selbst überprüfen.

Folgende drei Identitäten - sie werden Binomische Formeln genannt - sollten Sie auswendig anwenden können:

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(56)

(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(57)

(a + b) (a - b) = a2 - b2
(58)

Der Name dieser Formeln rührt daher, daß die Summe a + b als "Binom" bezeichnet werden kann.

Typische Anwendungen dieser Identitäten sind nicht nur das Ausmultiplizieren von Klammern, wie z.B. die Berechnung

(2 u - 3)2 = (2u)2 - 2 × (2 u) × 3 + 32 = 4 u2 - 12 u + 9
                                                            
(59)
aufgrund von (57) mit a  =  2 u und b = 3, sondern auch das umgekehrte Problem, einen gegebenen Term als Produkt zu schreiben, also das Faktorisieren. Beispiel: Kann der Term
x2 y2 - 4
(60)
als Produkt geschrieben werden? Antwort: Ja, denn aufgrund von (58), wenn a  =  x y und b = 2 gesetzt wird, ergibt sich die Identität
x2 y2 - 4 = (x y + 2) (x y - 2).
(61)
Erschrecken Sie nicht - mit ein bißchen Übung können Sie einen Blick für derartige Strukturen entwickeln. Die Identität (58) sagt, in Worten ausgedrückt, aus, daß sich jede Differenz zweier Quadrate als Produkt darstellen läßt. Erkennen Sie, daß der Term (60) eine Differenz zweier Quadrate ist?

Zweites Beispiel: Kann

x2 + 2 x + 1
(62)
als Produkt geschrieben werden? Antwort: Ja, denn aufgrund von (56), wenn a = x und b = 1 gesetzt wird, ergibt sich die Identität
x2 + 2 x + 1 = (x + 1)2.
(63)

Sie sehen, daß die Identitäten (56), (57) und (58)
  • ''von links nach rechts'' (Klammern ausmultiplizieren) und
  • ''von rechts nach links'' (Terme als Produkt schreiben, d.h. faktorisieren)
gelesen werden können, je nachdem, wofür man sie gerade benötigt.

Ein Beispiel dafür, wie sich die Identität (56) in einem einfachen Kontext anwenden läßt, ist eine verblüffend einfache Regel für das Quadrieren einer natürlichen Zahl, deren Einerstelle 5 ist (siehe nebenstehenden Button).

Weiter unten werden wir die Binomischen Formeln verallgemeinern.


     

 
    
Strukturerkennung
     
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Dieser Abschnitt ist sehr wichtig.

In der Mathematik möchte man oft einen Term - mit welchen Mitteln auch immer - so umzuformen, daß seine Struktur möglichst auf einen Blick ersichtlich ist. Was ist eigentlich die ''Struktur'' eines Terms? Was kann daran ''erkannt'' werden?

Terme müssen mit einem ganz besonderen Blick betrachtet werden, ansonsten bleiben sie ungelöste Rätsel. Dazu gehört auch ein bißchen Übung.

Manchen Termen können von vornherein gewisse Eigenschaften angesehen werden. So ist z.B. der Term

x2
(64)
immer nicht-negativ, ganz gleich, welche (reelle) Zahl für x eingesetzt wird. Denn das Quadrat einer reellen Zahl kann nicht negativ sein. Ist x = 0, so ist (64) auch Null, ansonsten immer positiv. Daher ist auch der Term
     

Quadrate sind ³ 0
 
 
    
(2a - 1)2
(65)
nie negativ - denn er ist auch ein Quadrat! Und der Term
1 + (2a - 1)2
(66)
ist immer positiv - er kann nicht einmal Null werden. (Sehen Sie, warum?)

Es ist extrem nützlich, die Struktur eines Terms sprachlich zu beschreiben. Eine klare Verwendung von Begriffen wie ''Summe'', ''Produkt'', ''Differenz'', ''Quotient'', ''Quadrat'' oder ''Potenz'' kann helfen, auch vor komplizierter aussehenden Terme nicht zu kapitulieren. Sehen wir uns ein paar Beispiele an: Der Term

(u2 - 1)2 + (2u + 1)2
(67)
ist eine Summe von Quadraten (und als solcher immer nicht-negativ). Der Term
(w2 + w)4  - 

E
m c2
- 1

2

 
(68)
ist eine Differenz zweier Quadrate (und kann daher - gemäß der Regel, die von (58) herrührt, und die wir oben besprochen haben - als Produkt zweier Terme geschrieben werden - versuchen Sie es!) Der Term
1 + (a4 + b4 + u4 w4)3
(69)
ist 1 plus die dritte Potenz einer Summe aus vierten Potenzen. (Er ist immer positiv - erkennen Sie, warum?)

Wir sehen, diese Charakterisierungen hängen nicht von der inneren Struktur der Klammerausdrücke ab. Ganz allgemein empfiehlt es sich, längere Ausdrücke nicht nur ''von links nach rechts'', sondern auch ''von außen nach innen'' zu lesen.

Üben Sie das Betrachten von Termen und die sprachliche Beschreibung ihrer Struktur in einem Applet!

     
Applet
Strukturen
erkennen 2
 
    
Weiters kann es vorkommen, daß ein Ausdruck innerhalb eines Terms öfters auftritt. Betrachten Sie den Term
(x2 + 3)2 - y2
x2 + 3 + y
.
(70)
Können Sie ihn vereinfachen? Zunächst sieht es nicht danach aus, und man könnte vielleicht die Klammern ausmultiplizieren - aber das würde ihn nur noch unübersichtlicher machen. Bei näherer Betrachtung sehen Sie aber, daß der Ausdruck x2 + 3 in ihm zweimal vorkommt. Definieren wir die Abkürzung
z = x2 + 3,
(71)
so liest sich (70) einfach als
z2 - y2
z + y
.
(72)
Der Nenner faktorisiert gemäß z2 - y2  =  (z + y) (z - y) (wieder eine Differenz zweier Quadrate - siehe (58)), wodurch (72) gekürzt werden kann und sich zu
z - y
(73)
vereinfacht. Nun ist aber z einfach eine Abkürzung für x2 + 3. Setzen wir dies ein, so finden wir als Resultat, daß sich der gegebene Term (70) auf
x2 + 3 - y
(74)
reduziert. Ohne die Einführung einer Abkürzung wäre diese Struktur schwieriger zu erkennen gewesen.

Anhand eines Applets (das wir bereits oben empfohlen haben) können Sie die Verwendung von Abkürzungen beim Anschreiben von Termen üben.

     
Applet
Strukturen
erkennen 1
 
    
Manchmal hilft es, von einem Term zu wissen, für welche Werte der Variablen er Null, für welche er positiv und für welche er negativ ist. Auch bei solchen Fragestellungen ist es nützlich, sich zu erinnern, daß Terme letzten Endes nur für Zahlen stehen. Mit Hilfe eines Applets können Sie Ihren Blick für solche numerischen Eigenschaften von Termen schärfen.


     
Applet
Strukturen
erkennen 3



 
    
Potenzen einer Summe
(Binomische Formeln, verallgemeinert)
und das Pascalsche Dreieck
     
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Manchmal ist es notwendig, eine Summe, d.h. einen Term der Struktur a + b, zu einer höheren Potenz zu erheben. Das Quadrat eines solchen Terms haben wir oben in (56) berechnet:
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 .
(75)
Höhere Potenzen können wir durch stures Ausmultiplizieren der Klammern finden:
(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 ,
(76)

(a + b)4 = a4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4
(77)

usw. Die vielen Summanden, die hier auftreten, werden der Übersichtlichkeit halber nach fallenden Potenzen von a (d.h. nach wachsenden Potenzen von b geordnet). Diese Formeln werden manchmal - ebenso wie die Identitäten (56) bis (58) - Binomische Formeln genannt.

Der Rest dieses Abschnitts kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden.


Das Pascalsche Dreieck


Das kann beliebig weiter getrieben werden, allerdings mit ständig wachsendem Rechenaufwand. Nun stellt sich heraus, daß all diese Identitäten, auch höhere, auf andere Weise viel einfacher gefunden werden können. Die Terme, um die es hier geht, sind Polynome (siehe oben) in zwei Variablen, a und b, und die Zahlen, die auf den rechten Seiten von (75), (76) und (77) auftreten, sind deren Koeffizienten. Die Koeffizienten zu verschiedenen Potenzen hängen nun auf verblüffende Weise zusammen. Sie können in ein Zahlenschema geschrieben werden, das den Namen Pascalsches Dreieck trägt.

Mit Hilfe des nebenstehenden Buttons können Sie eine Besprechung dieses Verfahrens aufrufen.


     
Das Pascalsche

 
    
Faktorielle und die Binomialkoeffizienten
     
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Dieser Abschnitt kann von ''EinsteigerInnen'' ausgelassen werden.


Binomialkoeffizienten


Im vorigen Abschnitt haben wir die Potenzen von a + b betrachtet. Die auftretenden Koeffizienten, d.h. die Zahlen in den Identitäten (75), (76), (77) und aller höheren, sind miteinander durch das Schema des Pascalschen Dreiecks verbunden. Sie treten in manchen Gebieten der Mathematik häufig auf (z.B. in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik). Für den dortigen Gebrauch empfiehlt es sich, ihnen Namen zu geben. Sie heißen Binomialkoeffizienten. (''Bi-'', da sie in den Potenzen von a + b, der Summe zweier Variablen, auftreten).
     

Kombinatorik


Binomialverteilung
 
    
Der k-te Koeffizient in der ausmultiplizierten Version von (a + b)n  (wobei die Summanden nach absteigenden Potenzen von a geordnet werden und mit k = 0 zu zählen begonnen wird) wird als

n
k

(78)
     
 
 
     angeschrieben und ''n über k'' ausgesprochen. (Diese Zahlen sind nicht zu verwechseln mit ''Vektoren'', die wir später besprechen werden, und für die die gleiche Schreibweise üblich ist). Die Binomialkoeffizienten sind also genau jene Zahlen, die das Pascalsche Dreieck (siehe oben) bilden:

Die Zahl (78) ist jener Koeffizient, der in der n-ten Zeile des Dreiecks an der k-ten Stelle steht (wobei sowohl die Numerierung Zeilen als auch die Numerierung der Zahlen innerhalb einer Zeile bei 0 beginnt).

     

Vektor
 
    
Erschrecken Sie nicht angesichts dieser abstrakten Formnulierungen, wenn Sie dieses Kapitel zum ersten Mal durchlesen! Sie werden diese Dinge erst viel später brauchen und mit der Zeit lernen, mit der mathematischen Sprache umzugehen. Wenn Sie wollen, können Sie sie jetzt ganz beiseite lassen.

Gehen wir unsere Identitäten für die ersten paar Werte von n durch. Für n = 0 haben wir

(a + b)0 = 1.
(79)
Hier gibt es nur einen Koeffizienten (er entspricht k = 0, dem einzig möglichen Wert für k), und er ist 1. Folglich ist

0
0

= 1.
(80)

Der Fall n = 1 entspricht der Identität

(a + b)1 = a + b.
(81)
Nun gibt es zwei Summanden und folglich auch zwei Koeffizienten. Der erste (er entspricht k = 0) ist 1, und der zweite (er entspricht k = 1) ebenfalls. Daher ist

1
0

=
1
1

= 1.
(82)

Für n = 2 haben wir laut (75)

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2.
(83)
Die drei Summanden entsprechen der Werten k = 0, 1 und 2, und ihre Koeffizienten sind 1, 2 und 1. Folglich ist

2
0

=
2
2

= 1            
2
1

= 2.
                                                            
(84)
Und so geht es weiter. Um es kurz zu machen: Die Koeffizienten für den Fall n = 3 stehen bereits in (76):

3
0

=
3
3

=
1

3
1

=
3
2

=
3,
(85)
jene für n = 4 stehen in (77):

4
0

=
4
4

= 1
                                                            
(86)

4
1

=
4
3

= 4             
4
2

= 6.

Die Identitäten für noch größere Werte von n können wir aus dem Pascalschen Dreieck bestimmen, und daher auch die entsprechenden Binomialkoeffizienten. Wenn Sie sehen wollen, wie Pascalsche Dreieck aussieht, wenn es durch die abstrakte Schreibweise für Binomialkoeffizienten ausgedrückt wird, dann klicken Sie auf den nebenstehenden Button.

     
Nochmals das
Pascalsche
 
     Klicken Sie auf den nebenstehenden Button, um einige Eigenschaften der Binomialkoeffizienten, zu erfahren, wie sie sich aus dem Zahlenmuster des Pascalschen Dreiecks ergeben.      
 
    


Faktorielle


Die Binomialkoeffizienten haben noch eine andere interessante Seite. Sie hängen mit einer Struktur zusammen, die sich zwanglos beim Spielen mit natürlichen Zahlen ergibt: Jede natürliche Zahl kann mit der nächst-kleineren multipliziert werden, dann wieder mit der nächsten kleineren usw, bis man bei 1 ankommt. Für die Zahl 5 sieht das so aus:
5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
(87)
Das Bilden dieses Produkts heißt Faktorielle (andere Bezeichnung: Fakultät) und wird mit einem Rufzeichen angeschrieben. Der obige Ausdruck wird als  5!  bezeichnet (ausgesprochen ''5 Faktorielle''), also
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
(88)
Für eine beliebige natürliche Zahl n ist
n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1.
(89)
Beispiele:  1! = 1 ,  2! = 2 ,  3! = 6 ,  4! = 24  und  5! = 120 . Wollen Sie nun weitergehen und  6!  berechnen, so müssen Sie nicht wieder alle vorhergehenden Zahlen miteinander multiplizieren. Er reicht, wenn sie das vorige Resultat 5! = 120 (das ja bereits das Produkt aller Zahlen zwischen 1 und 5 ist) mit 6 multiplizieren:  6!  = 6 × 5!  = 6 × 120  = 720. Das gilt ganz allgemein und wird durch
(n + 1)! = (n + 1) n!
(90)
ausgedrückt.

Es stellt sich als zweckmäßig heraus, auch die Null miteinzubeziehen und

0! = 1
(91)
zu definieren.

Wenn Sie nun fragen, wozu dieser Begriff gut sein soll, wollen wir Ihnen an dieser Stelle nur einen kleinen Hinweis geben:
Frage: Auf wieviele Arten können sich n Personen auf n Sesseln verteilen? Antwort: auf  n!  Arten. (Denken Sie darüber nach und prüfen Sie diese Behauptung für kleine n nach!) In einem späteren Kapitel werden Sie ausgiebige Anwendungsmöglichkeiten kennenlernen.

     

Kombinatorik
 
 
    


Nochmals Binomialkoeffizienten


Wir wollen nun auf einen Zusammenhang zwischen Faktorielle und den Binomialkoeffizienten eingehen, ohne zu begründen, warum er besteht. Eine bequeme Formel, Bimonialkoeffizienten zu berechnen, ist

n
k

= n (n - 1) (n - 2) ... (n - k + 2) (n - k + 1)
k (k - 1) (k - 2)      ...     2     ×      1
 .
                                                            
(92)
Lassen Sie sich von diesem Ausdruck nicht abschrecken! Im Nenner steht einfach k!, als Produkt angeschrieben. Im Zähler wird - beginnend mit n - auch jeweils 1 hinuntergezählt, solange bis genausoviele Zahlen dort stehen wie im Nenner (es sind, genauer gesagt, k Zahlen, die sowohl im Nenner als auch im Zähler stehen).

Ein Beispiel:


4
2

= 4 × 3
2 × 1
= 6,
(93)
was mit (86) übereinstimmt. Ein weiteres Beispiel:

5
3

= 5 × 4 × 3
3 × 2 × 1
= 10,
(94)
eine Zahl, die Sie leicht im Pascalschen Dreieck wiederfinden können.

Eine andere, mit (92) verwandte Formel drückt die Binomialkoeffizienten ausschließlich durch Faktorielle aus:


n
k

= n!
k! (n - k)!
 .
(95)

Setzen Sie kleine Zahlen für n und k ein und probieren Sie, ob Sie dieselben Resultate erhalten wie in (80) - (86).

Auf eine Verallgemeinerungsmöglichkeit, die in einem späteren Kapitel relevant sein wird, wollen wir noch kurz eingehen. Wiederholen wir: Wir haben vier Methoden zur Hand, Binomialkoeffizienten zu berechnen:
 

     

binomische Reihe
 
 
    
  • durch ausmultiplizieren von (a + b)n
  • durch ablesen aus dem Pascalschen Dreieck
  • durch die Formel (92)
  • durch die Formel (95)

Solange n und k nicht-negative ganze Zahlen sind und k £ n ist, geben sie alle dieselben Resultate. Die Berechnungsmethode (92) hat allerdings einen ganz besonderen Zug: In ihr darf n eine beliebige Zahl sein: sie darf negativ sein, rational oder irrational. Damit können wir festlegen, was etwa


1/2
3

(96)
     
 
 
     bedeuten soll. (Versuchen Sie, es zu berechnen! Die Antwort finden Sie mit Hilfe des nebenstehen Buttons).


     


 


 
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