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Exaktheit und Logik

Zusammenfassung:
In diesem Kapitel werden einige Methoden des mathematischen Schließens und der mathematischen Argumentation besprochen. Es setzt keine eingehenden Kenntnisse anderer Kapiteln der Mathematischen Hintergründe voraus. Eine gewisse Vertrautheit mit Gleichungen ist nützlich, und es wäre sinnvoll, wenn Sie zuvor das Kapitel Über Mathematik gelesen haben.

Stichworte:
Zur Einstimmung | Goldbachsche Vermutung | Logik beim Lösen von Gleichungen | eine einfache Gleichung | daraus folgt (Implikation) | Gleichungen lösen – die genaue Argumentation | genau dann, wenn (Äquivalenz) | "falsche" Lösungen | Mengen und Eigenschaften | Beschreibung von Mengen | Verknüpfung von Eigenschaften: Durchschnittsmenge und Vereinigungsmenge | Für alle und es existiert ein | "Für alle" | "Es existiert ein" | Negation (Verneinung) | Fallunterscheidungen | Beweistechniken | indirekter Beweis | Beweis durch vollständige Induktion | Formalisierung der mathematischen Logik | das logische Und | das logische Oder | das logische Nicht (Negation, Gegenteil) | Verknüpfungsregeln für Aussagen | Implikation als abgeleitetes Konzept | Äquivalenz als abgeleitetes Konzept | Aussagenlogik
Die Entwicklung dieses Kapitels wurde gefördert
von der Stadt Wien im Rahmen des Projekts
Blended Learning für Mathematik in der Studieneingangsphase
 
                                                                                                                                                                                                                                               
    
Zur Einstimmung
        
    

In einem anderen Kapitel, in dem es darum geht, was wir uns am besten unter Mathematik vorstellen sollten (und was nicht) werden einige mögliche Sichtweisen, worin Mathematik denn eigentlich besteht, angegeben: Da heißt es etwa "Mathematik beschäftigt sich mit formalen Strukturen und quantitativen, d.h. durch Zahlen ausdrückbaren Beziehungen" oder "Mathematik ist die Kunst, mit Hilfe exakten logischen Schließens aus bekannten Gegebenheiten neue, bislang unbekannte Wahrheiten zu entdecken". Wer sich auf Mathematik einlässt (oder einlassen muss), wird konfrontiert mit einer Welt von "idealisierten Denkmodellen", die zwar Bezüge zu unserer realen (Alltags-)Welt aufweisen (und oft genau aus diesem Grund erfunden werden, nämlich um Probleme, die in dieser realen Welt auftreten, zu lösen), die aber anderen Regeln gehorchen als unser Denken und unsere Kommunikation über die Dinge des Alltags. Um diese Regeln soll es hier gehen.

     



Über Mathematik
 
     In unserer alltäglichen Kommunikation sind wir gewohnt, Aussagen unterschiedlicher Verlässlichkeit zu machen. Manchmal sind wir von einer Sache so überzeugt, dass wir sie als Gewissheit ansehen. Beispielsweise werden die meisten Menschen ihr Geburtsdatum nicht nur vermuten, sondern wissen. Bei anderen Aussagen sind wir in der Regel weniger sicher und weniger präzise:
  • "Das letze Mal am Meer war ich ungefähr am 15. August des vorigen Jahres. Es kann auch ein bisschen vorher oder nachher gewesen sein." Nicht sehr präzise – wenngleich dieses Ausmaß an Genauigkeit normalerweise zum Austauschen von Urlaubserinnerungen völlig ausreicht.
  • "Gestern was es saukalt". Personen mit unterschiedlichem Kälteempfinden könnten über eine solche Aussage natürlich streiten.
  • "Person A hat diesen Streit begonnen." Selbst wenn die Handlungen aller an einem Streit beteiligten Personen unbestritten sind, wird oft ein Gericht bemüht, um über derartige Aussagen zu entscheiden. Was bedeutet es genau, "einen Streit zu beginnen"? Genügt dafür eine ironische Bemerkung? Oder zählt erst eine handfeste Beleidigung?
In der Mathematik hätte man es allerdings gern genauer. Die "idealisierten Denkmodelle", von denen die Mathematik handelt, wurden eigens dafür geschaffen: Sie erlauben es, exakte Aussagen zu machen, die – im Rahmen der mathematischen Welt – bewiesen werden können und daher mit Sicherheit wahr sind. Nehmen wir beispielsweise die Aussage
Die Diagonale eines Rechtecks mit Seitenlängen 3 und 4 hat die Länge 5.
     
 
 
     Sie zu beweisen, ist eine einfache Anwendung des Satzes von Pythagoras (mit dem Button rechts können Sie einen Exkurs zu Themen aus der klassischen Geometrie aufrufen, in dem auch der Satz von Pythagoras besprochen wird), und im Rahmen der Mathematik (genauer: der Geometrie) kommt ihr der Status einer wahren Aussage zu. In diesem Beispiel zeigt sich, dass Mathematik eine sehr transparente Wissenschaft ist: Jede Person, die den Satz von Pythagoras kennt, kann die Gültigkeit dieser Aussage selbst erschließen (also beweisen).

     

Themen aus der
klassischen
Geometrie
 
     Natürlich können in der Mathematik auch Vermutungen geäußert werden. Das ist für die Weiterentwicklung unseres Wissens sogar sehr wichtig. Berühmt ist beispielsweise die so genannte Goldbachsche Vermutung. Sie besagt: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist die Summe zweier Primzahlen. Für die kleineren geraden Zahlen können Sie das selbst überprüfen:
4  =  2 + 2
6  =  3 + 3
8  =  5 + 3
10  =  7 + 3
12  =  7 + 5
14  =  7 + 7
16  =  11 + 5
18  =  11 + 7
20  =  13 + 7
usw.
Im Jahr 2007 wurde diese Vermutung unter der Mitwirkung vieler vernetzter Computer für alle geraden Zahlen bis 1010 ( = 10 Milliarden!) überprüft. Aber bis heute gibt es keinen Beweis, dass sie für alle geraden Zahlen gilt. Vielleicht wird es eines Tages einen geben. Bis dahin kann man zwar eine Meinung dazu haben (also etwa felsenfest davon überzeugt sein, dass die Vermutung wahr ist, oder aber daran glauben, dass man eines Tages auf eine gerade Zahl stoßen wird, die nicht die Summe zweier Primzahlen ist), aber unbewiesen bleibt sie dennoch.

Die Mathematik, um die es in mathe online geht, ist gewissermaßen zwischen diesen beiden extremen Beispielen (der einfachen Anwendung des Satzes von Pythagoras und der – offenbar schwer zu beweisenden oder zu widerlegenden – Goldbachschen Vermutung) angesiedelt. So geht es beispielsweise des Öfteren um das Lösen von Gleichungen und um die Formulierung der Eigenschaften mathematischer Objekte wie Zahlen oder Funktionen. Logische Fehler beim Lösen von Aufgaben und beim mathematischen Argumentieren können zu falschen Schlussfolgerungen und damit zu falschen Ergebnissen führen, und ganz generell verstellen sie uns das Verständnis für das, was wir tun! Um Ihnen die Vermeidung derartiger Fehler zu erleichtern, wollen wir im Folgenden die wichtigsten Grundregeln des mathematischen Schließens besprechen und an einfachen Beispielen verdeutlichen.

 
     

Primzahlen und Teilbarkeit
 
    
Logik beim Lösen von Gleichungen
     
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Das Lösen von Gleichungen zählt zu den mathematischen Tätigkeiten, die in praktisch jedem mathematischen Teilgebiet nötig sind. Wir benutzen sie einerseits als Beispiel, um zu illustrieren, worin mathematisches Schließen besteht, und andererseits soll Ihnen dieser Abschnitt helfen, beim Lösen von Gleichungen den Überblick und eine gewisse Sicherheit zu bewahren.

 
Eine einfache Gleichung

     
 
 
     Die wichtigsten Typen von Gleichungen, mit denen Sie konfrontiert sein werden, werden in einem eigenen Kapitel behandelt. Hier soll es uns nur um die grundsätzliche Logik, die beim Lösen von Gleichungen zum Tragen kommt, gehen. Um mit einem besonders einfachen Beispiel zu beginnen, betrachten wir die Gleichung

8x – 12  =  2x.  
  (1)

Sie kann – wenn Sie so wollen – auch als Denksportaufgabe verstanden werden: Für welche Zahl gilt, dass ihr Achtfaches, vermindert um 12, gleich groß ist wie das Doppelte der Zahl? Ein systematischer Weg, diese Zahl zu finden, besteht darin, zunächst einmal (versuchsweise) anzunehmen, dass es tatsächlich eine solche Zahl gibt, und sie mit dem Symbol x zu bezeichnen. Wenn für sie also die Aussage (1) gilt, so steht auf der linken und auf der rechten Seite von (1) der gleiche Zahlenwert (obwohl wir ihn noch nicht kennen, ja genau genommen nicht einmal wissen, ob es überhaupt eine solche Zahl gibt)! Wenn wir nun 2x sowohl von der linken als auch von der rechten Seite subtrahieren, so bekommen wir wieder eine Aussage, nämlich

6x – 12  =  0.  
  (2)

Dabei haben wir lediglich auf der linken Seite den einfachen Rechenschritt 8x – 2x = 6x und auf der rechten den noch einfacheren Rechenschritt 2x – 2x = 0 angewandt. Beachten Sie die Logik, die der Umformung, die von (1) zu (2) führt, zugrunde liegt: Falls auf beiden Seiten von (1) der gleiche Zahlenwert steht, so steht auch auf beiden Seiten von (2) der gleiche Zahlenwert, denn mit den beiden Seiten von (1) wurde ja das Gleiche angestellt, um zu (2) zu gelangen! Wir können also festhalten:

Falls für eine Zahl x die Aussage (1) gilt, so gilt für diese Zahl auch die Aussage (2).

Wir können das auch kurz in der Form

(1)  =>  (2)

     

Gleichungen
 
     anschreiben und "aus (1) folgt (2)" oder "aus (1) impliziert (2)" aussprechen. Das Symbol => (die Implikation) bedeutet "folgt" oder "daraus folgt". Es wurde bereits im Einleitungskapitel eingeführt. Wenn wir nun (2) betrachten, dann drängt sich sogleich der nächste Schritt auf: Wir addieren zu beiden Seiten von (2) die Zahl 12 und erhalten mit

6x  =  12  
  (3)

eine Folgerung von (2). Als letzten Schritt dividieren wir beiden Seiten von (3) durch die Zahl 6 und erhalten die weitere Folgerung

x  =  2.  
  (4)

Insgesamt haben wir also eine ganze Kette von Folgerungen

(1)  =>  (2)  =>  (3)  =>  (4)

erhalten. Die letzte Version (4) ist besonders schön: Sie sagt uns, dass x gleich 2 ist. Damit ist x gefunden. Ende gut, alles gut? Doch halt! Haben wir tatsächlich bewiesen, dass x = 2 die Lösung der ursprünglichen Gleichung (1) ist? Auf den ersten Blick sieht es so aus, denn nach ein paar Umformungen ist ja die Aussage herausgekommen, dass x gleich 2 ist. Bedeutet das nicht schlicht und einfach, dass die Unbekannte x gefunden wurde und den Wert 2 hat?

 
Die genaue Argumentation

     


Argumentieren und beweisen
 
     Haben wir also bewiesen, dass 2 die Lösung der ursprünglich gegebenen Gleichung (1) ist? Genau genommen hat das von uns angewandte Verfahren nur Folgendes gezeigt:

Falls für eine Zahl x die Aussage (1) gilt, so folgt, dass diese Zahl gleich 2 ist.

Fällt Ihnen auf, dass noch ein Argumentationschritt fehlt? Könnte es sein, dass es gar keine Zahl gibt, die (1) erfüllt? Dann wären wir von einer falschen Voraussetzung ausgegangen und dürften die Folgerung natürlich nicht ernst nehmen! Es gibt nun zwei Möglichkeiten, diese logische Lücke zu schließen:
  • Methode 1: Sie fassen (4) als einen Hinweis auf, dass die Zahl 2 die Lösung sein könnte und setzen x = 2 in (1) ein. Mit anderen Worten: Sie machen die Probe! Durch direktes Einsetzen überprüfen (verifizieren) Sie, dass die Zahl 2 tatsächlich eine Lösung ist. Das ist natürlich ganz einfach: 8 · 2 –12 = 2 · 2 gilt tatsächlich, da sich beide Seiten auf 4 reduzieren. Jetzt können Sie die gesamte Vorgangsweise noch einmal überdenken: Unter der Voraussetzung, dass es eine Lösung gibt, wurde gezeigt, dass sie gleich 2 ist. Da die Probe ergeben hat, dass tatsächlich eine Lösung existiert, wurde also insgesamt nicht nur gezeigt, dass die Zahl 2 eine Lösung ist, sondern sogar, dass sie die einzige Lösung ist! Damit ist die Gleichung (1) vollständig gelöst.
     
  • Methode 2: Sie stellen durch eine allgemeine Überlegung sicher, dass nicht nur (4) eine Folgerung von (1) ist, sondern dass umgekehrt auch (1) eine Folgerung von (4) ist! Durch welche Schritte können wir unter der Voraussetzung, dass (4) gilt, auf die Gütigkeit von (1) schließen? Versuchen wir, die einzelnen Umformungen rückgängig zu machen:
     
    • Multiplizieren wir beide Seiten von (4) mit 6, so folgt (3).
    • Subtrahieren wir von beiden Seiten von (3) die Zahl 12, so folgt (2).
    • Addieren wir 2x zu beiden Seiten von (2), so folgt (1).
       
    Jeder einzelne unserer Umformungsschritte ist also umkehrbar. Es gilt nicht nur (1)  =>  (2), sondern auch (2)  =>  (1). Wir schreiben das in der Form

    (1)  <=>  (2)

    an, wobei das Symbol <=> (die Äquivalenz ) "genau dann, wenn" bedeutet und ebenfalls bereits im Einleitungskapitel eingeführt wurde. Das Gleiche gilt auch für die anderen Umformungsschritte, womit sichergestellt ist, dass

    (1)  <=>  (4)

    gilt. Nun ist bewiesen: Falls (1) erfüllt ist, gilt x = 2, und umgekehrt folgt aus x = 2, dass (1) gilt. Die Gleichungen (1) und die stark vereinfachte Gleichung (4) haben die gleiche Lösungsmenge. Welche Zahl auch immer die eine erfüllt – sie erfüllt dann automatisch auch die andere. Die beiden Gleichungen heißen zueinander äquivalent. Wenn wir (4) lösen, so haben wir damit automatisch die Lösung von (1) gewonnen. Da (4) aber schlicht und einfach aussagt, dass x gleich 2 ist, ist damit auch (1) gelöst: Die Zahl 2 ist die einzige Lösung von (1)!
     

Argumentieren und beweisen









 
 
     Die zweite Methode hat den Vorteil, dass sie recht allgemein funktioniert und nicht für jede Gleichung eigens argumentiert werden muss. Wann immer aus einer Gleichung eine andere erhalten wird durch
  • Addition einer Zahl (oder eines Terms) zu beiden Seiten
  • Subtraktion einer Zahl (oder eines Terms) von beiden Seiten
  • Multiplikation beider Seiten mit einer Zahl ≠ 0
  • Division beider Seiten durch eine Zahl ≠ 0,
so kann diese Umwandlung rückgängig gemacht werden. Wir sprechen auch von Äquivalenzumformungen, da jede derartige Umformung aus einer Gleichung eine zu dieser äquivalente Gleichung macht. Die Idee der Äquivalenzumformung, wie sie im Kapitel über Gleichungen angewandt wird, gibt uns die Sicherheit, beim Lösung von Gleichungen keine logischen Fehler zu machen.

 
"Falsche" Lösungen

     

Äquivalenz-
umformungen





 
 
     Finden Sie jetzt, dass das alles zuviel des Guten ist? Ist ein derartiges Ausmaß an formaler Genauigkeit überhaupt nötig? Betrachten wir dazu die folgende Gleichung:

  __  
 x  =  – 3.
 
  (5)

Hier ist also eine Zahl gesucht, deren Wurzel gleich – 3 ist. Was liegt näher, als beide Seiten zu quadrieren:

x  =  9,  
  (6)

denn es gilt ja (– 3)2 = 9. Also ist die Lösung gleich 9? Dummerweise zeigt die Probe durch Einsetzen, dass die Zahl 9 keine Lösung der Gleichung (5) ist, denn die Wurzel aus 9 ist gleich 3, nicht – 3. Tatsächlich gibt es keine (reelle) Zahl, die (5) erfüllt. Wir sagen auch, dass die Lösungsmenge der Gleichung (5) leer ist. Was ist schiefgelaufen? Ganz einfach:

Merken Sie sich bitte: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung!

Beim Lösen von Gleichungen ist also darauf zu achten, dass
  • entweder nur Äquivalenzumformungen angewandt werden oder, falls das nicht möglich ist,
  • am Ende die Probe durch Einsetzen gemacht wird, um zu entscheiden, ob der Kandidat, der sich ergeben hat, tatsächlich eine Lösung ist oder nicht.
Ein anderes Beispiel, bei dem diese logische Regel nötigt ist, ist die Gleichung

x 1

  =  
x – 1    x – 1
 .
  (7)

Multiplikation beider Seiten mit x – 1 führt sofort auf x = 1, aber die Probe durch Einsetzen zeigt, dass beide Seiten von (7) für x = 1 sinnlose Ausdrücke ergeben, da in ihnen durch 0 dividiert wird. Auch diese Gleichung besitzt überhaupt keine Lösung. Was ist hier passiert? Die Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit einem Term, d.h. mit einem Ausdruck, der die Unbekannte x enthält, ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn sich nicht am Ende ein Lösungskandidat ergibt, für den dieser Term gleich 0 wird! Ob das der Fall ist, weiß man manchmal erst zum Schluss, wie das Beispiel der Gleichung

x 2

  =  
x – 1    x – 1
 
  (8)

zeigt. Multiplikation beider Seiten mit x – 1 führt sofort auf x = 2, und die Probe durch Einsetzen zeigt, dass die Zahl 2 in diesem Fall tatsächlich die (einzige) Lösung der Gleichung (8) ist. Das passt auch damit zusammen, dass für den (einzigen) Lösungekandidaten x = 2 der Term x – 1 den Wert 1 hat, d.h. dass er ungleich 0 ist. Obwohl (7) und (8) einander also ganz ähnlich sehen, hat (7) keine Lösung, (8) hingegen sehr wohl eine.

Merken Sie sich bitte: Beim Lösen von Gleichungen (und nicht nur dort) ist wichtig, "was woraus folgt". Zögern Sie nicht, in Ihren Berechnungen die logischen Zeichen => (daraus folgt) und <=> (genau dann, wenn) zu verwenden, um auszudrücken, wovon Sie ausgegangen sind und was Sie gefolgert haben!

 
     
 
 
    
Mengen und Eigenschaften
     
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Eine wichtige Tugend in der Mathematik besteht darin, sich stets zu fragen, was die Zeichen bedeuten, die man gerade auf das Papier malt. Damit ist nicht bloß gemeint, für welche realen Dinge die mathematischen Größen stehen, die in einer Rechnung vorkommen. (Dabei kann es sich beispielsweise um Preise von Waren oder um die Abmessungen eines Grundstücks handeln). Wir meinen im Zusammenhang mit der Logik vielmehr, was die Zeichen mathematisch bedeuten. Wenn das klar ist, ergibt sich die Beachtung der Grundregeln der mathematischen Logik oft mit ein bisschen "Hausverstand" ganz von alleine.

 
Beschreibung von Mengen

     
 
 
     Um das zu verdeutlichen, wenden wir uns der Beschreibung von Mengen und der Kombination von Eigenschaften zu. Wie im Mengen-Kapitel ausführlicher beschrieben werden wird, werden manchmal alle Objekte, die gewisse Eigenschaften haben, zu einer Menge zusammengefasst. Beispielsweise können wir die Menge aller positiven geraden Zahlen, G = {2, 4, 6, 8,...}, auch in der Form

G = { n | n ist positive gerade Zahl }  
  (9)

anschreiben. Der senkrechte Strich (manchmal wird statt dessen auch ein Doppelpunkt geschrieben) bedeutet "für die gilt". Die Beschreibung (9) wird gelesen als: G ist die Menge aller n, für die gilt: n ist eine positive gerade Zahl. Das bedeutet, einfacher ausgedrückt: G ist die Menge aller positiven geraden Zahlen. Weiters seien durch

A = { n G | n < 36 }
B = { n G | n ist Quadratzahl}
 
  (10)

zwei weitere Mengen gegeben. A ist die Menge aller Elemente von G, die kleiner als 36 sind, und B ist die Menge aller Elemente von G, die Quadratzahlen sind. Versuchen Sie, so gut es geht, sich diese Mengen vorzustellen!

 
Verknüpfung von Eigenschaften:
Durchschnittsmenge und Vereinigungsmenge

     


Mengen
 
     Nun kombinieren wir die Eigenschaften, die bestimmte Zahlen zu Elementen dieser Mengen machen:
  • Welche Zahlen sind sowohl Elemente von A als auch Elemente von B ? Oder, anders ausgedrückt: Welche Elemente haben die Mengen A und B gemeinsam? Sie bilden die so genannte Durchschnittsmenge von A und B. Denken Sie kurz darüber nach und versuchten Sie, diese Menge anzugeben! Es sind dazu keine tiefen mathematischen Kenntnisse nötig. Bedenken Sie, wie hier die Eigenschaften "positive gerade Zahl", "kleiner als 36" und "Quadratzahl" miteinander kombiniert werden: Die Lösung können Sie mit dem nebenstehenden Button aufrufen.
  • Die vorige Aufgabe unterscheidet sich nicht sehr von dieser: Welche Ihrer männlichen Bekannten besitzen einen Führerschein und sind jünger als 36 Jahre? Sie können sie so formalisieren:
    G = { n | n ist ein männlicher Bekannter }
    A = { n G | n ist jünger als 36 Jahre }
    B = { n G | n besitzt einen Führerschein }
    Welche Elemente besitzen A und B gemeinsam? Das illustriert, dass die Logik des Umgangs mit mathematischen Eigenschaften manchmal gar nicht so weit von der "Alltagslogik" entfernt ist, wie man meinen möchte, sofern man sich unter den Eigenschaften, um die es geht, etwas vorstellen kann.
  • Nun versuchen Sie, herauszufinden, welche Zahlen entweder Element von A oder Element von B sind. Sie bilden die so genannte Vereinigungsmenge von A und B. Wenn es Ihnen leichter fällt, können Sie die Aufgabe zuerst in der "Alltagsversion" lösen: Jeden Montag treffen sich alle Ihre männlichen Bekannten, die einen Führerschein besitzen. Jeden Dienstag treffen sich alle Ihre männlichen Bekannten, die jünger als 36 Jahre sind. Wenn die beiden Treffen zusammengelegt werden – wer wird aller kommen?
Damit haben wir Beispiele für die wichtigsten Kombinationen von Eigenschaften (und damit Kombinationen von Mengen) angeführt:
  • Die Durchschnittsmenge zweier Mengen ist die Menge aller Elemente, die in der einen und in der anderen (d.h. sowohl in der einen als auch in der anderen) enthalten sind.
  • Die Vereinigungsmenge zweier Mengen ist die Menge aller Elemente, die entweder in der einen oder in der anderen (oder in beiden) enthalten sind.
Beides zu ermitteln ist – rein logisch – nicht schwierig, und wenn Sie sich von den Eigenschaften, um die es geht, ein Bild machen können, gehen Sie einfach so vor wir im Beispiel mit Ihren Bekannten!

     



Durchschnitts-
menge

 














Vereinigungs-
menge

 
 
     Eine in der Mathematik wichtige Klasse von Sowohl-als-auch-Kombinationen betrifft die Gleichungssysteme. Ohne in die Details dieses Gebiets hier eindringen zu wollen, können wir die zentrale Aufgabenstellung anhand eines Beispiels verdeutlichen: Gesucht sind Zahlen x und y, die die beiden Gleichungen

2x + y  =  8
3xy  =  7
 
  (11)
(12)

lösen. Jede der beiden Gleichungen besitzt unendlich viele Lösungen. (Sie können x beliebig vorgeben und die betreffende Gleichung benutzen, um y zu berechnen – dann haben Sie eine Lösung!) Eine Lösung des Gleichungssystems ist ein Zahlenpaar (x, y), das sowohl die erste als auch die zweite Gleichung erfüllt. Die Lösungsmenge des Gleichungssystems ist daher die Durchschnittsmenge der Lösungsmengen der beiden Gleichungen – sie besteht (wir beweisen das an dieser Stelle nicht) aus genau einem Element, das durch x = 3 und y = 2 gegeben ist. Überprüfen Sie durch Einsetzen, dass es sich dabei tatsächlich um eine Lösung handelt! Beachten Sie, dass wir von einer Lösung sprechen, die durch zwei Zahlen (also einem Zahlenpaar) charakterisiert ist! Wann immer Sie ein Gleichungssystem lösen, ermitteln Sie de facto (unabhängig davon, ob Ihnen das auch bewusst ist) eine Durchschnittsmenge!

 
     

Gleichungssysteme
 
    
Für alle und es existiert ein
     
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Beim mathematischen Argumentieren ist es manchmal nötig, Eigenschaften zu formulieren, die für eine Vielzahl von Objekten gilt, und manchmal reicht es aus, zu wissen, dass es ein (oder mindestens ein) Objekt mit einer gewissen Eigenschaft gibt. Versuchen Sie auch in diesen Fällen, sich möglichst plastisch vorzustellen, was mit derartigen Aussagen gemeint ist. Wir verdeutlichen sie zunächst anhand zweier einfacher Situationen.

 
"Für alle"

     
 
 
     Das Quadrat einer ganzen Zahl ist immer eine nicht-negative ganze Zahl. Formal können wir diesen Sachverhalt so ausdrücken: Für alle ganzen Zahlen n gilt, dass n2 ≥ 0 ist. Das Symbol ≥ bedeutet "größer-gleich" (also "größer oder gleich"). In einer Kurzformel:

n2  ≥  0    für alle  n Z,  
  (13)

wobei Z die Menge aller ganzen Zahlen ist. Unter Zuhilfenahme des Zeichens ("für alle") kann das auch in der noch kürzeren Form

n2  ≥  0      n Z  
  (13')

angeschrieben werden. Statt "für alle" können wir auch eine Formulierung mit "jede" oder "für jede" verwenden: Für jede ganze Zahl gilt, dass ihr Quadrat nicht-negativ ist.

 
"Es existiert ein"

     



Die Ordnung der
reellen Zahlen
 
     Frage: Wann ist eine gegebene ganze Zahl n eine Quadratzahl? Antwort: Wenn sie das Quadrat einer ganzen Zahl ist. (Es gibt auch andere Zahlen, die als Quadrate auftreten – so ist etwa 1/4 das Quadrat von 1/2 –, aber wir wollen den Begriff Quadratzahl nur für ganze Zahlen mit dieser Eigenschaft verwenden). Formal können wir diesen Sachverhalt so ausdrücken: n ist eine Quadratzahl, wenn eine ganze Zahl m existiert (d.h. wenn es eine ganze Zahl m gibt), so dass

m2  =  n  
  (14)

gilt. Die Zahl 25 ist eine Quadratzahl, weil eine ganze Zahl existiert, deren Quadrat 25 ist. (Tatsächlich gibt es sogar zwei solche Zahlen, nämlich 5 und  5). Unter Zuhilfenahme des Zeichens ("existiert" oder "es existiert ein") kann das auch in der kürzeren Form

n ist eine Quadratzahl, wenn m Z  so dass m2  =  n  
  (14')

angeschrieben werden, wobei Z die Menge aller ganzen Zahlen ist. Können wir diese Aussage beweisen? Nein, denn bei (14' ) handelt es sich um eine Definition, d.h. um eine schlichte Namensgebung: "Wir wollen eine Zahl Quadratzahl nennen, wenn ...". Bei Definitionen gibt es nichts zu beweisen!

     

Definitionen
 
 
     Wir können diese Definition aber benutzen, um die Aussage zu formulieren, dass die Zahl 25 eine Quadratzahl ist:

m Z  so dass m2  =  25.  
  (15)

Diese Aussage kann bewiesen werden: Dazu muss man nur eine konkrete Zahl m angeben, deren Quadrat 25 ist. Da 5 so eine Zahl ist, ist (15) also hiermit beweisen. Es ist eine wahre Aussage.

Lassen Sie sich nicht von Aussagen wie (13), (13' ), (14' ) und (13) und den darin vorkommenden Symbolen nicht abschrecken! Oft können derartige "Formelwürste" wie normale Sätze gelesen werden und stellen sich entweder als Definitionen heraus (bei denen sich die Frage nach "wahr" oder "falsch" nicht stellt) oder als Aussagen, dass gewisse Eigenschaften für gewisse Dinge gelten oder dass es ein Ding mit einer gewissen Eigenschaft gibt (oder nicht gibt).

 
Negation (Verneinung)

     
 
 
     Um ein Gefühl für den Wahrheitsgehalt mathematischer Aussagen zu bekommen, ist es lehrreich, sich die Verneinung (Gegenteil, Negation) derartiger Aussagen anzusehen. Hier ein Beispiel: Warum ist die Zahl 26 keine Quadratzahl?

Die Zahl 26 ist deshalb keine Quadratzahl, weil keine ganze Zahl existiert, deren Quadrat 26 wäre.

Das können wir auch anders formulieren:

Die Zahl 26 ist deshalb keine Quadratzahl, weil für alle ganzen Zahlen m gilt: m2 ≠ 26.

"Es existiert kein" und "für alle" liegen also nicht so weit auseinander!

Nun sehen wir uns eine Aussage an, deren Wahrheitsgehalt nicht so leicht eingesehen werden kann (weil er bis heute nicht bekannt ist) – die oben erwähnte Goldbachsche Vermutung:
Aussage A: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist die Summe zweier Primzahlen.
Was ist eigentlich ihr Gegenteil? Keine gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist die Summe zweier Primzahlen? Jede ungerade Zahl, die größer als 2 ist, ist die Summe zweier Primzahlen? Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist die Summe zweier Zahlen, die aber keine Primzahlen sind? Vielleicht haben Sie die einfachste Formulierung für die Negation von A selbst herausgefunden:
Aussage ¬A: Es gibt eine gerade Zahl, die größer als 2, aber nicht die Summe zweier Primzahlen ist.
Das Symbol ¬ (das logische Nicht) bezeichnet dabei die Negation (das Gegenteil) einer Aussage. Da die Goldbachsche Vermutung eine Behauptung für alle geraden Zahlen ist, die größer als 2 sind, besteht ihre Negation darin, dass es zumindest ein Gegenbeispiel gibt, also (zumindest) eine gerade Zahl, die größer als 2, nicht aber die Summe zweier Primzahlen ist. Ein möglicher Versuch, die Goldbachsche Vermutung zu widerlegen, besteht darin, ein Gegenbeispiel zu suchen.

Und was glauben Sie ist die Menge C aller geraden Zahlen, die größer als 2, nicht aber die Summe zweier Primzahlen sind? Denken Sie kurz darüber nach! Richtig: es ist die Menge aller Gegenbeispiele zur Goldbachschen Vermutung. Ein Beweis der Goldbachschen Vermutung wäre gleichbedeutend damit, zu zeigen, dass die Menge C leer ist, also gar kein Element enthält!

Mit dem nebenstehenden Link können Sie einige interaktive Tests zu diesem Kapitel aufrufen und den Umgang mit Negationen ein bisschen üben!

 
     
Interaktive Tests zu diesem Kapitel

 
 
    
Fallunterscheidungen
     
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Beim mathematischen Argumentieren ist es manchmal nötig, Fälle zu unterscheiden, die eintreten können. Um das zu illustrieren, nehmen wir uns wieder eine Gleichung her, diesmal eine etwas kompliziertere:

x(x – 1)  =  3x.  
  (16)

Wie könnte man sie lösen? Das x auf beiden Seiten der Gleichung ist verlockend: Wenn wir beide Seiten der Gleichung durch x dividieren, vereinfacht sie sich beträchtlich. Aber Vorsicht: Es könnte ja passieren, dass x = 0, und in diesem Fall dürfen wir nicht durch x dividieren! Was tun?

Gehen wir die Sache ganz gründlich an, nämlich mit einer Fallunterscheidung. Wir untersuchen die Angelegenheit zuerst für den (rein theoretischen) Fall, dass x = 0 sein könnte und danach für den (rein theoretischen) Fall, dass x ≠ 0 ist.
  • Fall x = 0.
    Falls x = 0 ist, so sehen wir sofort, dass es sich um eine Lösung der Gleichung (16) handelt, denn dann sind ja beide Seiten gleich 0. Das merken wir uns: eine Lösung ist bereits gefunden!
  • Fall x ≠ 0.
    Falls x ≠ 0 ist, dürfen wir beide Seiten der Gleichung (16) durch x dividieren! Es handelt sich dabei um eine Äquivalenzumformung, denn durch Multiplikation mit x können wir diese Operation wieder rückgängig machen. Wir erhalten

    x – 1  =  3  
      (17)

    und daraus, nach einer kleinen weiteren Umformung, die Lösung x = 4.
Eine saubere, clever gewählte Fallunterscheidung hat also gleich zwei Lösungen erbracht: 0 und 4. Und wir wissen jetzt, dass damit alle Lösungen der Gleichung (16) gefunden sind, denn einen dritten Fall gibt es nicht! Beachten Sie, nach welcher Logik wir hier vorgegangen sind:
  • Bevor wir irgendetwas über die Lösungen der Gleichung wissen, können wir eines mit Gewissheit sagen: Jede Zahl, von der gefragt werden kann, ob sie eine Lösung der Gleichung (16) ist, ist entweder gleich 0 oder ungleich 0. Mehr Möglichkeiten gibt es nicht. Bei einer Fallunterscheidung müssen immer alle Möglichkeiten betrachtet werden!
  • Für jeden einzelnen der betrachteten Fälle stellt sich die Aufgabenstellung einfacher dar. Das ist generell der Grund für eine Fallunterscheidung – sie muss die Dinge vereinfachen!
  • Im ersten Fall wurde angenommen, dass x = 0 ist. In ihm ist jede Argumentation, die mit dieser Voraussetzung operiert, erlaubt! Im zweiten Fall wurde angenommen, dass x ≠ 0 ist. In ihm ist jede Argumentation, die mit dieser Voraussetzung operiert, erlaubt! Weiteren Fall gibt es keinen – womit alle möglichen Werte, die x annehmen kann, berücksichtigt worden sind! Daher wissen wir auch, dass Gleichung (16) keine dritte Lösung besitzt.
Bei Fallunterscheidungen haben Sie freie Hand, welche Fälle Sie im Einzelnen betrachten. Es müssen dabei nur alle Möglichkeiten abgedeckt werden. Sollen Sie beispielsweise entscheiden, für welche (reellen) Zahlen x der Term

(x2 – 4)(x2 – 9)  
  (18)

positiv, 0 oder negativ ist, so können Sie zuerst feststellen, dass Vorzeichenwechsel der beiden Klammerausdrücke nur dann passieren, wenn x gleich einer der vier Zahlen ±2 und ±3 ist. Diese stellen Sie sich der Größe nach geordnet vor, also in der Reihenfolge  3,  2, 2, 3, und betrachten demnach die folgenden Fälle:
  • Fall x < –3: Der Term ist positiv (denn dann sind beide Klammerausdrücke positiv).
  • Fall x = –3: Der Term ist gleich 0 (denn dann ist der zweite Klammerausdruck gleich 0).
  • Fall –3 < x < –2: Der Term ist negativ (denn dann ist der erste Klammerausdruck positiv, der zweite negativ).
  • Fall x = –2: Der Term ist 0 (denn dann ist der erste Klammerausdruck gleich 0).
  • Fall –2 < x < 2: Der Term ist positiv (denn dann sind beide Klammerausdrücke negativ).
  • Fall x = 2: Der Term ist 0 (denn dann ist der erste Klammerausdruck gleich 0).
  • Fall 2 < x < 3: Der Term ist negativ (denn dann ist der erste Klammerausdruck positiv, der zweite negativ).
  • Fall x = 3: Der Term ist 0 (denn dann ist der zweite Klammerausdruck gleich 0).
  • Fall x > 3: Der Term ist positiv (denn dann sind beide Klammerausdrücke positiv).
Vollziehen Sie die einzelnen Schritte nach! Ist Ihnen klar, dass alle Möglichkeiten, wie die Zahl x relativ zu den Zahlen  3,  2, 2 und 3 liegen kann, berücksichtigt worden sind?
Sie könnten die gleiche Aufgabe aber auch anders lösen und beispielsweise Ihre Lösungsstrategie auf der (vielleicht ein bisschen weniger transparenten) Fallunterscheidung x2 < 4, x2 = 4, 4 < x2 < 9, x2 = 9 und x2 > 9 aufbauen. Alternativ dazu könnten Sie von den möglichen Vorzeichen der Klammerausdrücke ausgehen und Ihr Glück mit der Fallunterscheidung
  • Fall: beide Klammerausdrücke sind positiv
  • Fall: beide Klammerausdrücke sind negativ
  • Fall: der erste Klammerausdruck ist positiv, der zweite negativ.
  • Fall: der erste Klammerausdruck ist negativ, der zweite positiv.
  • Fall: zumindest einer der Klammerausdrücke ist gleich 0
versuchen. Bei allen drei Methoden werden alle Möglichkeiten, die eintreten können, abgedeckt. Für welche Methode Sie sich bei einem derartigen Beispiel entscheiden, sollten Sie davon abhängig machen, bei welcher Sie sich am sichersten fühlen.

Das Problem, zu entscheiden, für welche x der Term (18) welche Vorzeichen besitzt, läuft im Wesentlichen auf ein Ungleichungsproblem hinaus. Generell kommen Fallunterscheidungen in diesem Teilgebiet der Mathematik, dem ein eigenes Kapitel gewidmet ist, häufig zum Einsatz.

 
     

Ungleichungen

 
 
    
Beweistechniken
     
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Vielleicht werden Sie im Rahmen Ihrer mathematischen Ausbildung nicht viele mathematische Theoreme beweisen. Aber nicht nur die "großen" mathematischen Aussagen, sondern auch "kleine" Berechnungen, etwa um ein Gleichungssystem zu lösen, erfordern logisches Schließen, das letzten Endes immer dazu dient, sich der (mathematischen) Wahrheit einer Sache zu vergewissern. Wir wollen daher hier kurz einige Betrachtungen zu den wichtigsten Beweistechniken anstellen.

Manchmal gelingt es, eine mathematische Aussage auf mehr oder weniger "direktem Weg" durch eine Aneinanderreihung vom Implikationen zu beweisen. Ein Beispiel dafür ist das oben besprochene Lösen von Gleichungen. Wichtig dabei ist, sich (egal ob schriftlich oder mündlich) möglichst genau auszudrücken, um die Logik dessen, was bereits argumentiert (und damit gesichert) wurde, von dem zu trennen, was man vielleicht gern hätte, aber noch nicht erzielt hat. Insbesondere sollten Sie sich der Annahmen (Voraussetzungen), die Sie dabei machen, bewusst sein! Ein Beispiel ist wieder das Lösen von Gleichungen: Es beginnt mit der Annahme, dass eine Lösung existiert, und unter dieser Voraussetzung kann die gegebene Gleichung dann manipuliert werden. Es kann sich durchaus zum Schluss herausstellen, dass die Annahme falsch war. Wenn etwa das Umformen einer Gleichung zur Aussage 1 = 2 führt, so war offenbar die Annahme, dass es eine Lösung gibt, falsch – denn mit einer tatsächlich existierenden Lösung kann das natürlich nicht passieren. Ein Beispiel für eine solche Gleichung ist

x + 1  =  x + 2.  
  (19)

In der mathematischen Sprache heißt es dann, dass ein Widerspruch aufgetreten ist. Im Fall der Gleichung (19) erzielen Sie sofort einen offensichtlichen Widerspruch, indem Sie von beiden Seiten x subtrahieren!

In manchen Situationen ist aber auch der Einsatz von Tricks angesagt. Die Mathematik kennt viele spezielle Argumentationstechniken, die in bestimmten Situationen zum Ziel führen. Wir erwähnen nur zwei davon:
  • Indirekter Beweis:
    Diese Methode versucht, das Gegenteil einer Aussage zu widerlegen – was auf das Gleiche hinausläuft wie der Beweis dieser Aussage! Es wird also angenommen, dass die zu beweisende Aussage falsch ist, und daraus ein Widerspruch konstruiert.
    Beispiel: Es ist folgende Aussage zu beweisen: Ist das Quadrat einer ganzen Zahl ungerade, so ist sie selbst ungerade.
    Beweis: Das Gegenteil der zu beweisenden Aussage lautet: Es gibt eine gerade Zahl n, deren Quadrat ungerade ist. Nehmen wir an, dass das wahr ist. Laut Voraussetzung ist n gerade, also das Doppelte einer ganzen Zahl k. Daher können wir n = 2k schreiben. Daraus folgt n2 = 4k2 und somit n2/2 = 2k2. Das zeigt, dass n2/2 eine ganze Zahl ist (nämlich 2k2). Mit anderen Worten: n2 ist ohne Rest durch 2 teilbar und damit gerade. Das steht aber im Widerspruch zur Annahme, dass das Quadrat von n ungerade ist. Damit ist die ursprüngliche Aussage bewiesen.
  • Beweis durch vollständige Induktion (Induktionsbeweis):
    Diese Methode eignet sich oft, wenn unendlich viele Aussagen, die "durchnummeriert" werden können, zu beweisen sind. Sie wird im Kapitel über Zahlen besprochen.
Wenn Sie die hinter dem mathematischen Argumentieren stehende Logik einmal verstanden haben, werden Ihnen manche der mathematischen Tätigkeiten, die von Ihnen verlangt werden, leichter fallen, und von so manchen kochrezeptartig gelernten Berechnungsweisen werden Sie verstehen, warum sie gerade so sind, wie sie eingeübt werden.

 
     

Induktionsbeweis





 
 
    
Formalisierung der mathematischen Logik
     
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Die Strukturen, die beim logischen Schließen auftreten, können selbst in einer mathematischen Weise formuliert werden. Damit wird die mathematische Logik zu einem Teilgebiet der Mathematik gemacht. Wir wollen zum Abschluss dieses Kapitels noch einen kurzen Blick darauf werfen, wie das funktioniert.

Die zentralen Objekte der mathematischen Logik sind Aussagen, die wahr oder falsch sein können.
Beispiele für wahre Aussagen:
Aussage A: Die Zahl 4 ist gerade.
Aussage B: Das Quadrat jeder geraden Zahl ist gerade.
Aussage C: Das Quadrat jeder geraden Zahl ist ungerade.

Beispiele für Aussagen, deren Wahrheitsgehalt vom Wert einer Variablen abhängt:
Aussage D: n ist eine gerade Zahl
Aussage E: n2 ist eine gerade Zahl
Aussagen können nun miteinander verknüpft werden, wie wir es in diesem Kapitel ja bereits getan haben. Drei logische Operationen sind besonders wichtig:
  • Das logische Und: A B steht für die Aussage "A und B".
    Mit A und B ist auch A B eine Aussage.
     
  • Das logische Oder: A B steht für die Aussage "A oder B".
    Mit A und B ist auch A B eine Aussage.
     
  • Das logische Nicht (die Negation): ¬A steht für die Aussage "nicht A" (das Gegenteil von A).
    Mit A ist auch ¬A eine Aussage. ist A wahr, so ist ¬A falsch, und ist A falsch, so ist ¬A wahr.
Hier einige Beispiele, was man damit machen kann:
  • Da gibt es zunächst einige Verknüpfungsregeln, die für beliebige Aussagen gelten:
     
    • A B = B A
      Das bedeutet: Die Aussage A B behauptet das Gleiche wie die Aussage B A, und zwar unabhängig davon, ob A und B wahr oder falsch sind!
      Ist Ihnen klar, warum das so ist? Wenn nicht, betrachten Sie dieses Beispiel:
      Aussage A: "die Zahl 4 ist gerade" (sie ist wahr).
      Aussage B: "die Zahl 9 ist eine Primzahl" (sie ist falsch).
      Die (falsche) Aussage "die Zahl 4 ist gerade und die Zahl 9 ist eine Primzahl" ist gleichbedeutend mit der (falschen) Aussage "die Zahl 9 ist eine Primzahl und die Zahl 4 ist gerade"! Es kommt nicht auf die Reihenfolge an!
       
    • A B = B A
      Das bedeutet: Die Aussage A B behauptet das Gleiche wie die Aussage B A, und zwar unabhängig davon, ob A und B wahr oder falsch sind!
      Ist Ihnen klar, warum das so ist? Wenn nicht, betrachten Sie dieses Beispiel:
      Aussage A: "die Zahl 4 ist gerade" (sie ist wahr).
      Aussage B: "die Zahl 9 ist eine Primzahl" (sie ist falsch).
      Die (wahre) Aussage "die Zahl 4 ist gerade oder die Zahl 9 ist eine Primzahl" ist gleichbedeutend mit der (wahren) Aussage "die Zahl 9 ist eine Primzahl oder die Zahl 4 ist gerade"! Es kommt nicht auf die Reihenfolge an!
       
    • ¬(¬A) = A
      Das bedeutet: Die Aussage ¬(¬A) behauptet das Gleiche wie die Aussage A, und zwar unabhängig davon, ob A wahr oder falsch ist! In Worten: Das Gegenteil des Gegenteils einer Aussage ist die Aussage selbst.
       
    • ¬(A B) = ¬A ¬B
      Versuchen Sie, diese Regel in Worten zu auszudrücken und ein Beispiel anzugeben!
       
    • A (B C) = (A B) (A C)
      Versuchen Sie, diese Regel in Worten zu auszudrücken und ein Beispiel anzugeben!
       
    Zahlreiche weitere Verknüpfungsregeln sind von einer ähnlichen Struktur.
     
  • Wichtig für das mathematische Schließen ist aber nicht nur die Gleichheit von Aussagen, die auf verschiedene Weisen formuliert werden, sondern auch die Implikation, das "daraus folgt". Auch sie kann auf unsere drei elementaren logischen Operationen , und ¬ zurückgeführt werden:
    Die Aussage (A B) ¬A ist gleichbedeutend mit A => B ("aus A folgt B").
    Die Beziehung "daraus folgt" ist also von diesem Standpunkt aus betrachtet ein abgeleitetes Konzept.
    Versuchen Sie, die Aussage (A B) ¬A in Worten zu auszudrücken und ein Beispiel anzugeben!
    Hier ein Tipp für ein Beispiel: Setzen Sie
    • A ist die Aussage "n ist ein ungerade Zahl".
    • B ist die Aussage "n2 ist ein ungerade Zahl".
    • Nun nehmen Sie an, dass n eine beliebige ganze Zahl ist, und formulieren Sie die Aussage
      (A B) ¬A in Worten!
    Wenn Ihnen dieses Beispiel klar ist, sind Sie von einem allgemeinen Beweis der Gleichheit von
    (A B) ¬A mit A => B nicht mehr weit entfernt!
     
  • Können Sie die Äquivalenz, also die Beziehung A <=> B, ebenfalls auf die elementaren logischen Operationen , und ¬ zurückführen?
    Ein Tipp dazu: Die Beziehung A <=> B kann auch so ausgedrückt werden, dass A und B entweder beide wahr oder beide falsch sind.
Diese Art der Formalisierung mathematischer Logik (sie heißt Aussagenlogik, weil es in ihr um Aussagen und ihre Beziehungen geht) wird unter anderem dazu benutzt, um herauszufinden, was mit welchen Methoden und ausgehend von welchen Voraussetzungen überhaupt bewiesen werden kann. Sie findet auch in der Computertechnik (in der "wahr" und "falsch" durch die Bits "0" und "1" dargestellt werden) Anwendung und wird beispielsweise dazu benutzt, um elementare Rechenoperationen in die Hardware, d.h. in die Computerchips, einzubauen, damit sie möglichst schnell ausgeführt werden.

Wie im Kapitel über Mengen besprochen wird, besteht zwischen den Operationen , und ¬ einerseits und den Verknüpfungen von Mengen (Durchschnitts-, Vereinigungs- und Komplementärmenge) andererseits ein enger Zusammenhang, den wir hier aber nicht weiter verfolgen wollen.

 
     

"Und", "oder" und "nicht" in der Mengenlehre

 
 


 
 
 
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