Winkelfunktionen am Einheitskreis

Lernpfad erstellt und betreut von:

Julian Langmann

E-mail: julian.langmann@gmx.at
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Übersicht:       
Hilfe
1. Basiswissen: Kreis und Trigonometrie
2. Winkelfunktionen für beliebige Winkel - Der Einheitskreis
3. Beziehungen der Winkelfunktionen zueinander
4. Übungsteil zur Selbstkontrolle

Basiswissen: Kreis und Trigonometrie
 
1.1 Einleitung
Dieses erste Kapitel besteht zum größten Teil aus Wiederholungen von bereits gelernten Themen, wie an der Kennzeichnung der entsprechenden Abschnitte ersichtlich ist.
Wenn du der Meinung bist, dass du die jeweiligen Inhalte bereits beherrschst, kannst du sie also gerne überspringen.

 
1.2 DER KREIS: Radius, Umfang und Bogenlänge

Mathematische Definition
Der Kreis ist die Menge aller Punkte P, die von einem festen Punkt M immer denselben Abstand r haben.
Der Punkt M wird Mittelpunkt des Kreises mit dem Radius r genannt.


Umfang des Kreises
Um den Umfang, also die Länge der Kreislinie zu berechnen benötigt man die sogenannte Kreiszahl Pi: π = 3,14159...
Sie ist für jeden beliebigen Kreis der Quotient aus dem Umfang und dem Durchmesser (2·r), wodurch sich die folgende Formel ergibt:

U = 2·r·π


Länge eines Kreisbogens
Mithilfe der obigen Formel lässt sich die Länge der gesamten Kreislinie berechnen.
Der Kreisbogen b ist ein Teil davon und hängt vom Mittelpunktswinkel α ab, was man sehr schön am Bild unten erkennen kann.



Bei einem Winkel von α=360° entspricht der Kreisbogen dem Umfang des Kreises (U = 2·r·π), woraus sich der Kreisbogen mit Mittelpunktswinkel α=1° wie folgt ergibt:
 
α=1°      2·r·π       und somit für beliebige Winkel:    α=x°      2·r·π
      b = -----                                                b = -----  · x   
           360                                                      360

Nun kann man noch kürzen und erhält damit die Formel für die
Länge des Kreisbogens b mit dem Mittelpunktswinkel α:
    r·π
b = ---- · α
    180

Wiederholung
 
1.3 Eine andere Art, Winkel anzugeben
Passend zum vorherigen Thema folgt nun ein kleiner Vorgriff auf den Stoff der 6. Klasse AHS, der notwendig ist, um den Inhalten des Lernpfades zu folgen.


Das Bogenmaß
Neben dem bekannten "Gradmaß" kann man Winkel auch mit dem sogenannten "Bogenmaß" angeben.
Es ist definiert als das Verhältnis der Bogenlänge mit dem Radius eines Kreises und hat die Einheit "Radiant"
     b        
α = ---   ;   [b/r] = rad
     r     

In einem Kreis mit Radius r=1 entspricht also die Bogenlänge des Kreissektors dem Mittelpunktswinkel im Bogenmaß und du kannst dir folgende Zusammenhänge ganz einfach selbst überlegen:
    α = 90°  —►  α = π/2 rad 

    α = 180° —►  α = π rad 
α = 270° —► α = 3·π/2 rad
α = 360° —► α = 2·π rad

Vorgriff
 
1.4 Übungsblatt 1
https://www.mathe-online.at/materialien/julian.langmann/files/Aufgabe1.pdf

Drucke dir das oben verlinkte Übungsblatt aus und klebe es in dein Lerntagebuch!
Versuche dann die 3 Aufgaben selbstständig mithilfe der Formeln aus diesem Kapitel zu lösen!
Eintrag in das Lerntagebuch
 
1.5 TRIGONOMETRIE: Winkelfunktionen am rechtwinkeligen Dreieck

Die trigonometrischen Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens

Per Definition sind die trigonometrischen Funktionen (auch Winkelfunktionen genannt) rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkeln und Verhältnissen von Seiten im rechtwinkeligen Dreieck
und es gilt für 0 ≤ φ < 90°:

         Gegenkathete                   Ankathete                    Gegenkathete
sin(φ) = ------------         cos(φ) = -----------         tan(φ) = -------------
          Hypotenuse                   Hypotenuse                     Ankathete
    
Überlege dir nun, wie die Winkelfunktionen im obigen Dreieck für α und β definiert sind und vergleiche deine Ergebnisse danach mit der Lösung unten.
Lösung [Markiere den folgenen Text, um ihn lesen zu können]
sin(α) = a/c
cos(α) = b/c
tan(α) = a/b

sin(β) = b/c
cos(β) = a/c
tan(β) = b/a
Ende der Lösung
Wiederholung
 
1.6 Abschließende Übung zum Selbsttest
https://www.mathe-online.at/materialien/julian.langmann/files/
   Winkelfunktionen_am_EHK/cmm_luecke.htm

Der Link bringt dich zu einem Lückentext und weiters zu einem Kreuzworträtsel, wo du selbst testen kannst, wie gut du die Inhalte aus diesem Kapitel beherrschst.
Im eigenen Interesse, solltest du erst, wenn du die beiden Aufgaben gelöst- und verstanden hast zum zweiten Kapitel übergehen.
Selfchecking Test
 
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