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1.1 Wie sind komplexe Zahlen "entstanden"?
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| Wir wissen bis jetzt, dass fast alle quadratischen,... Gleichungen im Bereich der reellen Zahlen lösbar sind. Was ist jedoch beispielsweise mit der folgenden Gleichung x2 + 1= 0 ? Ist diese unlösbar? Die Antwort lautet NEIN. Mit Hilfe der Komplexen Zahlen kann man auch solche Probleme lösen. Der im 18. Jahrhundert lebende Leonhard Euler war einer der ersten Mathematiker, der begann sich mit dieser Angelegenheit zu beschäftigen und versuchte eine Lösung zu finden.
Das war der Grund warum er die "Zahl i " einführte." i " wird auch imaginäre Einheit genannt und ist dazu da Gleichungen wie die Obengenannte x2 + 1 = 0 zu lösen.
Es gibt nun folglich doch Wurzeln aus negativen Zahlen. So gilt: Wenn a ∈ R √(-a) = √(a·(-1)) = √(a) · √(-1). Nun stellt sich uns natürlich die Fage, ob es eine Zahlt gibt deren Quadrat gleich -1 ist.
Falls es so eine Zahl i gibt, gilt für diese:
i2 = -1
Somit können wir sagen, dass die komplexen Zahlen den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart verändern bzw. erweitern, dass nun auch Gleichungen wie x2 = - 4 eine Lösung erhalten.
Vorgriff
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1.2 Aufbau einer komplexen Zahl
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| Die übliche Schreibweise einer komplexe Zahl z ist: z = a + b·i
Eine komplexe Zahl z besteht aus zwei Teilen: a und b:
• a wird Realteil und
• b Imagintärteil von z genannt
Hierbei sind a und b immer reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit.
Beispiele hierfür wären: z1= 3 + 4·i , z2= 4.31 - 8.72·i , z3= 0 + 2·i , z4= 6 + 0·i ⇒ z4 ist also die reelle Zahle 6.
Es gibt auch eine sogenannte konjugiert komplexe Zahl zu z : wenn z = a + b·i ⇒ dann ist die konjugiert komplexe Zahl dazu z˜ = a - b·i → das Vorzeichen wird verändert! (vor allem wichtig bei der Division!)
Lernstoff
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