Aus der Ebenen Koordinatengeometrie kennen wir zwei Darstellungen einer Geraden.
Die Normalvektorform und die Parameterform.
Nun besitzt eine Gerade im Raum jedoch unendlich viele Normalvektoren, deshalb lassen sich Geraden im Raum durch die Parameterdarstellung aufstellen.

Im Allgemeinen:
g(t) = A + t*v

Für die Darstellung der Gerade g wird ein Aufpunkt A und ein Richtungsvektor v benötigt.
Die Gleichung beschreibt mittels der Variable t alle Punkte auf der Gerade.

Zwei Geraden können in verschiedenen Lagebeziehungen zueinander stehen, abhängig von Aufpunkt und Richtungsvektor.
Wir unterscheiden:

Seien   g(t) = A + t*v   und   p(s) = B + s*u

Parallel:
Die zwei Geraden sind parallel genau dann wenn:
Die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind.
(Es existiert eine Zahl M sodass, M*v = u)
Und sie gemeinsamen Punkt besitzen.
(Es existiert kein Tupel (t₀, s₀), sodass A + t₀*v  =  B + s₀*u)

Schneidend:
Die zwei Geraden schneiden sich falls sie genau einen gemeinsamen Punkt besitzen.
(Es existiert genau ein Tupel (t₀, s₀), sodass A + t₀*v  =  B + s₀*u)

Orthogonal:
Die zwei Geraden sind orthogonal (schneiden sich im rechten Winkel) genau dann wenn:
Sie sich schneiden.
Und die beiden Richtungsvektoren orthogonal sind sind.
(<u, v> = 0)

Windschief:
Die zwei Geraden sind windschief genau dann wenn:
Die Richtungsvektoren linear unabhängig sind.
(Es existiert keine Zahl M sodass, M*v = u)
Und sie keinen gemeinsamen Punkt besitzen.

Identisch:
Die zwei Geraden sind identisch genau dann wenn:
Die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind.
Und sie einen gemeinsamen Punkt besitzen.
(Im identischen Fall sind alle Punkte der Geraden gemeinsame Punkte.)

Gib zu den gegebenen Geradenpaare die jeweilige Lagebeziehung an.

Ähnlich wie eine Gerade kann eine Ebene in Parameterform dargestellt werden. Zusätzlich zum Aufpunkt werden für die Ebene zwei Richtungsvektoren benötigt, welche lineare unabhängig sind
Die Gleichung mit zwei Variablen beschreibt somit alle Punkte die in der Ebene liegen.

E(t,s) = A + t*v + s*u

Zwei Ebenen können genau wie zwei Geraden in verschiedenen Lagebeziehungen zueinander stehen.

Seien   M(t,s) = A + t*v₁ + s*v₂   und   N(p,q) = B + p*u₁ + q*u₂   unsere beiden Ebenen.

Sind die zwei Vektoren-Tupel (v₁, v₂, u₁) und (v₁, v₂, u₂)  jeweils linear abhängig und die beiden Ebenen besitzen einen gemeinsamen Punkt,
(das heißt für ein 4-Tupel (t,s,p,q) ist die Gleichung  A + t*v₁ + s*v₂ = B + p*u₁ + q*u₂  erfüllt.) sind die Ebenen identisch.

Die zwei Ebenen sind parallel wenn sie keinen gemeinsamen Punkt besitzen.
Das heißt für keine (t,s,p,q) ist die Gleichung  A + t*v₁ + s*v₂ = B + p*u₁ + q*u₂  erfüllt.
Diese Bedingung ist ausreichend. Ebenen ohne gemeinsamen Punkt sind immer parallel, da Ebenen im Raum nicht windschief zueinander stehen können.

Die zwei Ebenen schneiden sich falls sie gemeinsame Punkte besitzen und nicht identlisch sind.
Zwei Ebenen die sich schneiden, schneiden sich stets in einer Gerade.

Überlege wie drei Ebenen zueinander stehen können!

Fülle das Kreuzworträtsel aus. Wiederhole es bis du alle Begriffe gut beherrscht.