Folgen und Reihen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Petra Grell

E-mail: a0001130@unet.univie.ac.at
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1. Folgen
2. Reihen

Folgen
 
1.1 Darstellungsarten
Was versteht man unter expliziter, rekursiver und verbaler Darstellung von Folgen? Bei Unklarheiten lies in den Vorlesungsunterlagen nach!
Wiederholung
 
1.2 Übungsbeispiele 1
https://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/WSAna1.pdf

Rechne die Übungsbeispiele, die du unter dem angegebenen Link vorfindest.
Versuche deine Ergebnisse mit Hilfe des zu überprüfen. Falls du bei einer Aufgabe Probleme hattest, so versuche sie durch Heranziehen des Folgen-Plotters zu lösen. Lies dir zuvor die Anleitung, die unter obigem Link zu finden ist, genau durch.
Übungsaufgaben
 
1.3 Folge - Funktion
Eine Folge ist eine Funktion, deren Definitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen ist. Was heißt das?
Wenn áanñ eine arithmetische Folge, so ist an welche Art von Funktion von n?

Veranschauliche dir diese Tatsache anhand einer Zeichnung: Jedem n wird ein Funktionswert, nämlich an zugeordnet. Zeichne diese Punkte in ein Koordinatensystem.
Kannst du eine Form des Graphens erkennen, der entstehen würde, wenn man die einzelnen Punkte verbindet?

Überprüfe deine Zeichnungen mit dem Folgen-Plotter
 

1.4 Arithmetische Folgen 1
Bei arithmetischen Folgen wird zum Vorgänger-Glied immer ein konstanter Term addiert, um zum nächsten Folgenglied zu gelangen. Wie äußert sich diese Tatsache in der rekursiven Darstellung einer arithmetischen Folge? Wie sieht diese Darstellung aus?
Versuche daraus die explizite Darstellung herzuleiten!

Hinweis: Setze in der rekursiven Darstellung immer wieder die rekursive Darstellung des Vorgänger-Glieds ein. Die Lösung dazu findest du im angegebenen File, aber nicht schummeln!

Arithmetische Folge - explizite Darstellung
 

1.5 Arithmetische Folgen 2
https://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/WSAna3.pdf

Löse die Übungsaufgaben!
 
1.6 Geometrische Folge 1
Bei geometrischen Folgen wird das Vorgänger-Glied immer mit einem konstanten Term multipliziert, um zum nächsten Folgenglied zu gelangen. Wie äußert sich diese Tatsache in der rekursiven Darstellung einer geometrischen Folge? Wie sieht diese Darstellung aus?
Versuche daraus die explizite Darstellung herzuleiten!

Hinweis: Setze in der rekursiven Darstellung immer wieder die rekursive Darstellung des Vorgänger-Glieds ein. Die Lösung dazu findest du im angegebenen File, aber nicht schummeln!

Geometrische Folge - explizite Darstellung
 

1.7 Geometrische Folgen 2
https://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/WSAna5.pdf

Löse die Übungsaufgaben!
 
1.8 Arithmetisch oder geometrisch?
https://www.mathe-online.at/tests/grenz/arigeo.html

Versuche das Puzzle zu arithmetischen und geometrischen Folgen zu lösen. Was sind die wesentlichen Merkmale dieser beiden speziellen Folgen? Worin bestehen die Unterschiede?
Selfchecking Test
 
1.9 Numerische Berechnung von Folgen
https://www.mathe-online.at/galerie/grenz/folgennumerisch.html

Um Folgenglieder einfach und schnell berechnen zu können, kannst du auch das von Mathe-Online zur Verfügung gestellte Programm verwenden.
Probiere es mit einigen Folgen, die wir bis jetzt kennengelernt haben aus.
Versuche auch die Aufgaben, die im Applet bei Klick auf den Button "Aufgaben" angeführt sind, zu lösen.
 
1.10 Monotonie von Folgen
https://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/WSAna6.pdf

Wiederhole, welche Monotonieeigenschaften eine Folge haben kann!
Gibt es auch Folgen, die kein regelmäßiges Monotonieverhalten haben? Wenn ja, so gib solche an. Löse die Übungsbeispiele!

Verwende auch den Folgen - Plotter oder berechne die ersten Folgenglieder mit dem Berechnungstool (Numerische Berechnung von Folgen)
 

1.11 Monotonie - Puzzle
https://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/
   Monotonie_von_Folgen_-_Puzzle.htm

Versuche das Puzzle zu lösen! Viel Spaß!

ACHTUNG: Ein wichtiger Hinweis: mehrere Antwortmöglichkeiten kommen doppelt vor.
Leider muss man die einzig gültige Antwort finden. Falls ihr euch über eine falsche Lösung wundert, tauscht bitte die gleichen Antworten aus. Falls das Ergebnis dann immer noch nicht richtig ist, müsst ihr über eure Antwort nachdenken =)
 
1.12 Beschränktheit von Folgen
https://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/WSAna7.pdf

Überlege dir, wann eine Folge nach oben bzw. unten beschränkt ist. Versuche dir dies durch eine Zeichnung zu veranschaulichen.
Löse die Übungsbeispiele. Nimm auch den Folgen-Plotter zu Hilfe.
 
1.13 Nullfolgen
https://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/WSAna8.pdf

Wiederhole was es bedeutet, dass eine Folge eine "Nullfolge" ist. Löse die Übungsbeispiele.
 
1.14 Nullfolgen - Multiple Choice Test
https://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/Nullfolge_Ja_Nein.htm

Mache den Multiple Choice Test zum Thema Nullfolgen.
 
1.15 Folgen und Zahlengerade
https://www.mathe-online.at/galerie/grenz/folgenz/index.html

Öffne das Applet von Mathe-Online und lies dir unter "Aufgaben" durch, was zu tun ist. Versuche die Aufgaben zu lösen.
 
1.16 Konvergenz von Folgen
https://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/WSAna9.pdf

Bei den Nullfolgen haben wir an Hand unserer Zeichnung versucht zu erkennen, ab welchem Index n0 für ein bestimmtes e die Ungleichung
|xn - 0| < e   gilt.
Dies kann man nun auch auf allgemeine Folgen, die einen Grenzwert x, besitzen, also konvergent sind, verallgemeinern, indem man die Beziehung |xn - x| < e   für ein spezielles e heranzieht.
Um den Index n0 nun auch rechnerisch zu bestimmen, setzt man einfach die bekannten Daten, nämlich xn in expliziter Darstellung, x und e in obige Beziehung ein und formt die Ungleichung nach n um. So erhält man einen Wertebereich für n, in dem die anfängliche Ungleichung gilt. n0 ist nun die natürliche Zahl, die man duch Runden nach oben erhält.
 
1.17 Berechnung von Grenzwerten
https://www.mathe-online.at/materialien/Petra.Grell/files/WSAna10.pdf

Berechne die Grenzwerte. Verwende zur Kontrolle den Folgen-Plotter.
 
1.18 Konvergent oder Divergent?
https://www.mathe-online.at/tests/grenz/konvdiv.html

Löse das Puzzle! Viel Spaß!
 
1.19 Grenzwert - Schranke
Im Kapitel "Beschränktheit von Folgen" haben wir gesehen, dass das erste Folgenglied einer monoton wachsenden (fallenden) Folge eine untere (obere) Schranke der Folge ist.
Welche Eigenschaft erfüllt der Grenzwert einer konvergenten Folge, je nachdem ob diese monoton wachsend oder monoton fallend ist?
 
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