Crashkurs: Gleichungen

Lernpfad erstellt und betreut von:

Franz Embacher

E-mail: franz.embacher@univie.ac.at
Homepage: http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/
Steckbrief
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Dieser Crashkurs soll ein Gefühl dafür vermitteln, was eine Gleichung ist, wie einfache (lineare und quadratische) Gleichungen gelöst werden können. Vertiefend wird eine graphische Methode besprochen, die es erlaubt, Näherungslösungen komplizierterer Gleichungen zu finden. Lernenden, die etwas über Gleichungen erfahren (oder wiederholen) wollen, wird empfohlen, sich - auch an Stellen, an denen es nicht ausdrücklich vorgeschlagen wird - selbständig und regelmäßig (auf dem Papier oder am Computer) Notizen über das Gelernte zu machen.       
Hilfe
1. Was Sie bisher über Gleichungen wissen
Schreiben Sie in Ihren eigenen Worten auf, was Sie bisher über Gleichungen wissen. Wie würden Sie die Frage "Was ist eine Gleichung?" beantworten? Was fällt Ihnen zu den Stichworten "eine Gleichung lösen" und "Lösung einer Gleichung" ein?
Wiederholung, Eintrag in das Lerntagebuch
 
2. Ein konkretes Problem
"Gibt es Zahlen, die doppelt so groß sind wie ihr Quadrat? Wenn ja, welche?"
Stellen Sie sich vor, Sie finden dieses Problem auf der Rätselseite einer Zeitung und können viel Geld gewinnen, wenn Sie es lösen - wie gehen Sie vor?
Aufgabe, Eintrag in das Lerntagebuch
 
3. Exkurs: Gleichungen - ein erster Überblick
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i_exkurs.html

Lesen Sie diesen Exkurs und schreiben Sie in Ihr Lerntagebuch, wie Sie damit zurecht gekommen sind. Was ist Ihnen klar, was nicht? Können Sie Fragen formulieren, die Ihnen durch den Text nicht beantwortet wurden?
Lernstoff, Eintrag in das Lerntagebuch
 
4. Äquivalenzumformungen
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html#Aequ

Lesen Sie den Abschnitt "Äquivalenzumformungen" dieses Kapitels der Mathematischen Hintergründe und sehen Sie sich das zugehörige gleichnamige Applet an. Dieser Stoff ist sehr wichtig, denn er bildet die Grundlage für das Lösen von Gleichungen!
Lernstoff
 
5. Lineare Gleichungen
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html#LinGl

Lesen Sie den Abschnitt "Lineare Gleichungen" dieses Kapitels der Mathematischen Hintergründe.
Lernstoff
 
6. Aufgaben: Lineare Gleichungen
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/
   CrashkursGleichungen/aufgaben1.html

Lösen Sie die gestellten Aufgaben. Sehen Sie sich erst danach die Lösungen an.
Übungsaufgaben
 
7. Quadratische Gleichungen
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/i.html#QuGl

Lesen Sie den Text des Abschnitts "Quadratische Gleichungen" dieses Kapitels der Mathematischen Hintergründe. (Die beiden zugehörigen Applets und den Unter-Abschnitt "Der Vietasche Satz" können Sie auslassen. Auf eines der beiden Applets werden wir später zurückkommen).
Das wichtigste in diesem Abschnitt ist die "kleine Lösungsformel":

  • Wenn Sie sie verstehen wollen, lesen Sie den Beweis durch.
  • Um sie anwenden zu können, müssen Sie nur ein bisschen üben!

Lernstoff
 
8. Noch einmal: ein konkretes Problem
Kehren Sie zum Lernschritt 2 ("Ein konkretes Problem") zurück und sehen Sie sich an, was Sie dazu ins Lerntagebuch geschrieben haben. Wie würden Sie es im Lichte des bisher Gelernten behandeln? Können Sie es in eine Gleichung verwandeln und diese lösen?
Tipp: es gibt zwei Lösungen!
Aufgabe, Eintrag in das Lerntagebuch
 
9. Quadrate
Gibt es Zahlen, deren Quadrat 4 ist? Wenn ja, welche?
Tipp: es gibt zwei solche Zahlen.
 
10. Aufgaben: Quadratische Gleichungen
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/
   CrashkursGleichungen/aufgaben2.html

Lösen Sie die gestellten Aufgaben. Sehen Sie sich erst danach die Lösungen an.
Übungsaufgaben
 
11. mathe online Funktions-Plotter
http://www.mathe-online.at/fplotter/fplotter.html

Nun besprechen wir eine graphische Lösungsmethode für Gleichungen. Wenn Sie in dieses Tool einen Ausdruck, der das Symbol x enthält, eingeben (zum Beispiel x^2+2*x-2) und auf "Zeichnen" klicken, so entsteht eine Kurve. (Sie stellt einen "Funktionsgraphen" dar, obwohl es auf diesen Namen nicht ankommt). Zu jedem (horizontal abzulesenden) Wert von x wird (vertikal) der Wert des eingegebenen Ausdrucks für dieses x dargestellt. Jeder Schnittpunkt der auf diese Weise entstandenen Kurve mit der (horizontalen) Null-Linie (der "x-Achse") stellt eine Lösung der Gleichung

eingegebener Ausdruck  =  0

dar. Auf diese Weise können Sie auch kompliziertere als die bisher gelernten Gleichungen lösen - wenn auch nur näherungsweise. Lösen Sie mit dieser Methode die Gleichung

x3 + x - 1 = 0

(eine "Gleichung dritter Ordnung") näherungsweise!
(Tipp: Geben Sie den Ausdruck x^3+x-1 ein und lesen Sie ab, wo die Kurve die x-Achse schneidet).
Vertiefung
 
12. Quadratische Gleichungen 2 (Drei Lösungsmethoden)
http://www.mathe-online.at/mathint/gleich/applet_b_quadr2.html

In diesem Applet der "Galerie" werden drei Lösungsmethoden für quadratische Gleichungen einander gegenüber gestellt. Konzentrieren Sie sich vor allem die zweite (Einsetzen in die Lösungsformel) und die dritte (graphische) Methode. Versuchen Sie, geometrisch zu verstehen, warum manche quadratische Gleichungen zwei, manche eine und manche keine Lösung besitzen.
Vertiefung
 
13. Gleichungen lösen
http://mss.math.vanderbilt.edu/~pscrooke/MSS/solvepoly.html

Mit Hilfe dieses Werkzeugs können Sie einfache Gleichungen online lösen. Versuchen Sie, damit vertraut zu werden, indem Sie einige Gleichungen Ihrer Wahl eingeben. Benutzen Sie es auch in Zukunft, wenn Sie sich die Rechnung auf einem Blatt Papier ersparen wollen!
Kennenlernen eines Werkzeugs, Eintrag in das Lerntagebuch
 
14. Ihre eigene Zusammenfassung des Gelernten
Lesen Sie die Lerntagebuch-Einträge, die Sie im Zusammenhang mit den Lernschritten 1 und 3 ("Was Sie bisher über Gleichungen wissen" und "Exkurs: Gleichungen - ein erster Überblick") geschrieben haben, noch einmal durch. Schreiben Sie nun erneut zusammen, was Sie über Gleichungen wissen und was noch unklar ist.
Eintrag in das Lerntagebuch
 
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