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4.1 Was heißt Termumformung?
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Eine Term umformen heißt, ihn durch einen anderen Term
zu ersetzen, der aber immer den gleichen Wert hat,
egal, welche Zahlenwerte für die Variablen eingesetzt werden.
Wiederholung
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4.2 Wieso Umformungen sinnvoll sind - den Aufwand minimieren
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Ein mögliches Ziel einer Umformung besteht darin, den zur Berechnung eines Terms nötigen
Aufwand zu minimieren. So ergeben beispielsweise die Terme
- a2 + 2ab + b2
- (a + b)2
für alle Zahlen a und b
die gleichen Werte - wir können sie insofern als "gleich"
(besser: äquivalent) betrachten. Dennoch ist der Aufwand für ihre Berechnung unterschiedlich:
Berechnen Sie die Werte der beiden Terme ohne Hilfsmittel für
a = 1.4
und
b = 2.3 !
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4.3 Rechenregeln
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Das Rechnen mit Klammern kann genau genommen auf eine einzige Regel, das Distributivgesetz
a(b + c) =
ab +
ac,
das wir aufgrund der Vertauschbarkeit der Multiplikation auch in der Form
(b + c)a =
ba +
ca
schreiben können, zurückgeführt werden.
Die Symbole
a, b und
c können für
konkrete Zahlen stehen, aber auch für Terme
(die vielleicht selbst wieder Klammern enthalten).
Es ist lehrreich, Termumformungen mit Klammern auf diese Regel
(zusammen mit Regeln im Umgang mit dem Minuszeichen
wie (-1)·a =
-a)
zurückzuführen.
Beispiele:
- -(x + y)
= (-1)·(x + y) =
(-1)·x + (-1)·y =
-x - y
- a(b - c) =
a(b + (-c)) =
ab +
a(-c) =
ab -
ac
Leiten Sie in ähnlicher Weise die Regeln
- -(x - y) =
-x + y
- -a(b - c) =
-ab +
ac
her! Versuchen Sie auch, als etwas schwierigere Aufgabe, die so genannte binomische Formel
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
auf diese Weise zu begründen! Tipp:
Benutzen Sie dabei zunächst die Abkürzung A = a + b
und fangen Sie so an:
(a + b)2 =
(a + b)(a + b) =
A(a + b) =
Aa + Ab = ...
Ersetzen Sie nun wieder A durch
a + b und wenden Sie unsere Rechenregel noch zweimal an!
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4.4 Mehr oder weniger Klammern?
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Die in der vorigen Aufgabe betrachteten Rechenregeln können auf zweierlei
Weise angewandt werden:
- Klammern auflösen (oder ausmultiplizieren)
Beispiel:
(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3) =
x2 + 3x + 2x + 6 =
x2 + 5x + 6.
(Diese Umformung kann auch in einem einzigen Schritt durchgeführt werden, indem
jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert
wird!)
- Gemeinsame Faktoren herausheben
Beispiel: x2 + 5x =
x(x + 5).
Im ersten Fall wird die Zahl der Klammern kleiner, im zweiten Fall wird
sie größer. Welche Umformungsart sinnvoller ist, hängt ganz vom konkreten
Term (und machmal auch von sonstigen Zwecken, die man verfolgt) ab.
Ob
- (x + 2)(x + 3)
"einfacher" (oder "schöner") ist als
x2 + 5x + 6,
und ob
- x2 + 5x
"einfacher" (oder "schöner") ist als
x(x + 5)
ist überdies bis zu einem gewissen Grad auch Geschmackssache.
Aufgaben: Vereinfachen Sie die Terme
- x2 - x(x - 1)
... durch Ausmultplizieren
- x3 + x2
... durch Herausheben
und prüfen Sie nach, ob der vereinfachte Term
für x = 1
den gleichen Wert hat wie der gegebene.
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4.6 Das große Term-Umformungspuzzle
http://www.mathe-online.at/tests/var/termumformen.html
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Welche der Terme gehen durch eine Umformung auseinander hervor?
Spielen Sie diesen Test einige Male durch (die angezeigten Terme werden
aus einem großen Vorrat zufällig ausgewählt).
Wenn Sie sich schwer tun, nehmen Sie ein Blatt Papiert zur Hand und lassen
Sie sich Zeit! Mit ein bisschen Übung sollten Sie dann alle nötigen
Termumformungen im Kopf ausführen können.
Puzzle
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