3.1 Auswertung eines Terms mit Klammern
http://www.mathe-online.at/materialien/Franz.Embacher/files/
termAuswerten/termAuswerten.html
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Dieser Link führt auf eine interaktive Flash-Animation, in der
Sie die Rechenoperationen beim Auswerten eines Terms
selbst steuern. Dabei sollen die Klammern "von innen angearbeitet" werden.
- Spielen Sie die Lernhilfe ein paar Mal mit verschiedenen
(positiven und negativen) Zahlen Ihrer Wahl durch.
- Wenn Sie damit vertraut sind,
versuchen Sie, die Zahlen, die bei jedem Klick erscheinen werden,
im Voraus anzugeben!
Beachten Sie, wie die Zahl der Klammern im Zuge der Berechnung immer kleiner wird,
bis zuletzt keine einzige Klammer mehr übrig ist.
Interaktive Lernhilfe
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3.2 Wozu Klammern?
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Schreiben Sie auf, welche Kriterien Sie bei der vorigen Aufgabe benutzt haben,
um die erlaubten Rechenoperationen herauszufinden!
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3.3 Klammer oder nicht Klammer
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Wozu braucht man Klammern?
- Der Term
a + (b + 3)
darf auch ohne Klammern als
a + b + 3
geschrieben werden.
- Der Term
a - (b + 3)
darf nicht als
a - b + 3
geschrieben werden!
Überprüfen Sie diese beiden Behauptungen mit konkreten Zahlenwerten Ihrer Wahl!
Welche der in den Termen
- (a + b) - (c + 3)
- (a + b)
 (c + 3)
- (a + b)2 + (c + 3)
auftretenden Klammern dürfen weggelassen werden?
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3.4 Abkürzungen
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Jeder Teil eines Terms, der in einer Klammer steht, kann als abgeschlossene
Untereinheit verstanden werden. Um sich das klar zu machen, ist es nützlich,
diesen Untereinheiten eigene Namen (Abkürzungen) zu geben.
Beispiel: Der Term
6x + 3(u + 2)2 - (2u - 1)
kann geschrieben werden als
6x + 3A2 - B,
wobei die Abkürzungen
- A = u + 2
- B = 2u - 1
verwendet wurden. Machen Sie sich klar, dass im Ausdruck 6x + 3A2 - B
keine Klammern geschrieben werden müssen, im ursprünglichen Term aber schon!
Schreiben Sie die Terme
- (5x2 - 1)3
- (x + a2)3 + 1
- -4(b - a)(a2 + b)
- (1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)
in analoger Weise an!
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3.5 Ein Fehler
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Jemand argumentiert so: Wenn die Abkürzung A
= x2
+ a
in den Term
A2
- 3x
eingesetzt wird, so kommt heraus:
x2
+ a2
- 3x.
Überprüfen
Sie anhand der Zahlenwerte x
= 1 und a
= -1, dass das nicht stimmen kann!
Welcher Fehler wurde gemacht? Wie lautet das korrekte Resultat?
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3.7 Von innen oder von außen?
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Fassen wir das über den Umgang mit Klammern bisher Gelernte in zwei
grobe Faustregeln zusammen:
- Zum Berechnen (Auswerten) eines Terms werden die Klammern von innen her abgearbeitet.
Beispiel:
Mit x = 1,
y = 2 und z = 3
ist
(x - (y + z)3 + 1)2 - (x + (y - z)3 - 1)2 =
(1 - (2 + 3)3 + 1)2 - (1 + (2 - 3)3 - 1)2 =
(1 - 53 + 1)2 - (1 + (-1)3 - 1)2 =
(1 - 125 + 1)2 - (1 - 1 - 1)2 =
(- 123)2 - (-1)2 =
15129 - 1 =
15128.
- Um die Struktur eines Terms zu erfassen und Eigenschaften zu erkennen, ist es oft
nützlich, von außen her kommend alles, was in einer Klammer steht,
als abgeschlossene Untereinheit anzusehen, von deren innerer Struktur
zunächst abgesehen wird.
Beispiel: (x - (y + z)3 + 1)2 - (x + (y - z)3 - 1)2 =
etwas2 - (etwas anderes)2
= Differenz zweier Quadrate.
Zusätzlich kann es sinnvoll sein, einen Term umzuformen, um seine
Struktur zu vereinfachen. Damit beschäftigen wir uns im nächsten Kapitel.
Zusammenfassung
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