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2.1 Kochrezept für einen Term
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Ein Term kann als Anweisung zur Berechnung einer Zahl verstanden werden.
Dabei stellt man sich vor, dass die im Term vorkommenden
Variablen konkrete Zahlenwerte annehmen, die aber in der Anweisung
zunächst unbestimmt gelassen werden.
Eine solche Anweisung kann
durchaus in Worten formuliert werden. Beispielsweise kann der
Term (x
+ 1)2 + 3x
in Form eines Kochrezepts so beschrieben werden:
- Nimm die Zahl x, addiere 1 und
quadriere das Resultat.
- Dazu addiere das Dreifache von x.
Oder so:
- Nimm die Zahl x, addiere 1,
multipliziere das Resultat mit sich selbst und bezeichne die so erhaltene Zahl mit
y.
- Addiere zu y das Dreifache von x.
Formulieren Sie Kochrezepte zur Berechnung der Terme
- (2x
+ 1)2 - 4z
- x
+ u2
+ x3
- (b
+ 1)(b - 1)
und schreiben Sie sie auf! Falls Sie in einer Klasse oder in einem Kurs lernen: Vergleichen Sie Ihre Kochrezepte mit jenen,
die Ihre KollegInnen formuliert haben!
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2.2 Kochrezepte und Klammern
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Charakterisieren Sie jeden der beiden folgenden Terme durch ein Kochrezept:
- a - (b + 1)
- a - b + 1
Wenden Sie die von Ihnen formulierten Kochrezepte für
a = 4 und
b = 2 an!
(Die Anweisungen eines Terms auf konkrete Zahlen anwenden nennen wir auch
"den Term auswerten").
Sie sollten zwei verschiedene Ergebnisse erhalten.
Wodurch unterscheiden sich die Terme bzw. die Kochrezepte?
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2.3 Den Term zu einem Kochrezept finden
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Wichtig bei der Beschreibung eines Terms in Worten ist, dass sie
möglichst genau ist. Verschiedene Personen sollten in der Lage sein, aus einer verbalen
Beschreibung auf den gleichen Term zu schließen (wobei wir zwei Terme, die sich nur
in der Reihenfolge von Additionen und Multiplikationen oder in der Schreibweise von
Divisionen unterscheiden, als gleich betrachten, also etwa zwischen
a + b
und
b + a,
zwischen 2a
und a ·2
oder zwischen a/2
und
(1/2)a
nicht unterscheiden).
Welcher Term wird vom folgenden Kochrezept beschrieben?
- Addiere die Zahl a zu 1, bilde
die dritte Potenz und bezeichne das Resultat mit A.
- Multipliziere A mit 7.
- Addiere 5.
- Bilde die Hälfte.
Vergleichen Sie Ihr Resultat mit denen Ihrer KollegInnen!
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2.4 Noch einen Term zu einem Kochrezept finden
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Welcher Term wird vom folgenden Kochrezept beschrieben?
- Addiere die Zahl a zu 1, bilde
die dritte Potenz und bezeichne das Resultat mit A.
- Addiere 5 zu A.
- Multipliziere mit 7.
- Bilde die Hälfte.
Unterscheidet er sich von dem in der vorigen Aufgabe beschriebenen Term?
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2.5 Wahr oder falsch?
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Ist die Aussage
"Das Quadrat der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Differenz aus
der Summe der Quadrate der beiden Zahlen und
dem Doppelten des Produkts der beiden Zahlen"
wahr oder falsch? Übersetzen Sie dieses Problem in die mathematische
Sprache der Terme!
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2.6 Eine wichtige Rechenregel
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Formulieren Sie das so genannte Distributivgesetz
a(b + c) =
ab +
ac
in Worten!
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2.7 Struktur von Termen
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Mathematik besteht nicht nur aus Formeln. Oft werden Wörter dazu benutzt,
um (noch bevor irgendwelche Rechenoperationen
angewandt werden) über die Struktur von Termen zu sprechen. Beantworten Sie die folgenden Fragen:
- Kann der Term (u + 2)2
+ (v - 2)2
als Summe von Quadraten oder als Quadrat einer Summe angesehen werden?
- Kann man sagen, dass der Term
(x + 2(a + b)(a + b))
(x - 2ab)
ein Produkt ist? Falls ja, aus wie vielen und aus welchen Faktoren besteht er?
- Kann man sagen, dass der Term
x/2
ein Produkt ist? Falls ja, aus wie vielen und aus welchen Faktoren besteht er?
- Kann man sagen, dass der Term
x2
ein Produkt ist? Falls ja, aus wie vielen und aus welchen Faktoren besteht er?
- Kann man sagen, dass der Term
4(1 + x + x2) + 5
eine Summe ist? Falls ja, welches sind seine Summanden?
Wenn Sie sich mit den Antworten schwer tun, können Ihnen die folgenden Kapitel dieses
Lernpfads vielleicht etwas mitgeben...
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