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1.1 Vorwort
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In diesem einleitenden Kapitel wollen wir anhand eines Beispiels besprechen, wo
Terme herkommen, welchem Zweck sie dienen und was Variable sind. Es enthält
keine Aufgaben, sondern einfach ein bisschen Lesestoff für Sie. Wenn Sie
mit diesen Fragen bereits vertraut sind, dann überspringen Sie es
einfach.
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1.2 Farben und Flächen
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Ein Maler-und-Anstreicher-Unternehmen muss für jeden Kundenauftrag
im Voraus die dafür nötige Menge an Farbe ermitteln.
Um das tun zu können, muss die Größe der auszumalenden Fläche bekannt sein.
Das Unternehmen bekommt von jedem Kunden und für jeden Raum folgende Informationen:
- Länge, Breite und Höhe des Raumes
- Anzahl, Breite und Höhe der Fenster
- Anzahl, Breite und Höhe der Türen
Die auszumalende Fläche soll nun per Knopfdruck durch ein Computerprogramm ermittelt
werden. Mit welchen Informationen müssen wir "den Computer füttern",
damit er diese Aufgabe übernehmen kann? Dazu müssen wir die gesuchte Fläche
zuerst allgemein berechnen, d.h. ohne die konkreten Zahlenwerte des Kunden zu kennen. Um
dies tun zu können, müssen wir zunächst den einzelnen Größen eigene Namen (Symbole)
zuordnen. Wir wählen folgende:
| Objekt |
Symbol |
| Raum |
Länge |
a |
| Breite |
b |
| Höhe |
h |
| Fenster |
Anzahl |
m |
| Breite |
p |
| Höhe |
q |
| Türen |
Anzahl |
n |
| Breite |
r |
| Höhe |
s |
Die gesuchte Fläche kann nun durch diese Größen ausgedrückt werden:
- Die vier Wände entsprechen einem Rechteck mit Seitenlängen 2
 a
+ 2b
(= Umfang der Grundfläche) und h
(= Höhe). Sie haben daher zusammen die Fläche (2a
+ 2b)h.
- Der Plafonds hat die Fläche ab,
die noch hinzugezählt werden muss.
- Da Fenster und Türen nicht angestrichen werden, muss noch deren Fläche
abgezogen werden.
- Jedes Fenster hat eine Fläche pq.
Daher haben m Fenster
eine m-mal so große Fläche,
d.h. mpq.
- Jede Türe hat eine Fläche rs.
Daher haben n Türen eine
n-mal so große Fläche,
d.h. nrs.
Auf diese Weise ergibt sich die gesuchte Fläche zu
(2a
+ 2b)h
+ ab
- mpq
- nrs.
Es handelt sich hier um einen Term, der von den neun Symbolen (Variablen)
a, b,
h, m,
p, q,
n, r
und s abhängt.
Ihre Zahlenwerte mussten bei der Ermittlung des Terms nicht bekannt sein. Auch
wenn der Term "in den Computer gefüttert" wird, müssen noch keine
Zahlenwerte angegeben werden - sie sollen sogar
unbestimmt bleiben! Erst die zukünftigen Kunden werden die für ihre jeweiligen
Räumlichkeiten geltenden Werte angeben. Dann allerdings zeigt sich der Vorteil unserer
Vorgangsweise: Es muss nicht für jeden Kunden eine eigene Berechnung der obigen
Art angestellt werden, sondern die Zahlen werden einfach in den Term eingesetzt
(bzw. in den PC eingetippt).
Hat beispielsweise ein Kunde ein Zimmer mit den Abmessungen
| Objekt |
Wert |
| Raum |
Länge |
8
Meter |
| Breite |
6
Meter |
| Höhe |
3.5
Meter |
| Fenster |
Anzahl |
2 |
| Breite |
1.5
Meter |
| Höhe |
1.7
Meter |
| Türen |
Anzahl |
1 |
| Breite |
1.3
Meter |
| Höhe |
2.5
Meter |
d.h. (unter Weglassung der Einheiten)
a = 8,
b = 6 usw.,
so soll das Programm die Berechnung
(2 · 8 +
2 · 6) · 3.5 + 8 · 6 -
2 ·
1.5 · 1.7 - 1
· 1.3 · 2.5
= 137.65
durchführen. Sinnvoll gerundet, wird dem Kunden in diesem Beispiel Farbe
für 138 Quadratmeter verrechnet.
So betrachtet, ist ein Term nichts anderes als eine Anweisung zur Berechnung
einer Zahl aus gewissen anderen, als gegeben betrachteten (aber vorerst unbestimmt
gehaltenen) Zahlen, den Variablen.
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1.3 Eine kleine Verbesserung
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Betrachten wir unseren Flächenterm noch einmal genauer. Er enthält den Ausdruck
(2a
+ 2b)h.
Statt dessen können wir genausogut 2(a
+ b)h
schreiben. (Warum? Versuchen Sie, das zu begründen!) Die auszumalende
Fläche lässt sich daher auch durch den Term
2(a
+ b)h
+ ab
- mpq
- nrs
beschreiben. Er unterscheidet sich zwar geringfügig vom ersten (ist
in mancher Hinsicht "einfacher", da nur einmal mit 2
multipliziert werden muss), liefert aber für alle konkreten Zahlenangaben
für die Variablen denselben Wert. Mathematisch gesehen haben wir eine
Termumformung durchgeführt.
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1.4 Eine kleine Erweiterung
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Weil alles so gut klappt, wollen wir unser Programm noch "intelligenter"
machen: Wieviele Farbeimer muss der Mitarbeiter, der die Arbeit erledigt, mitnehmen?
Wir wollen, dass der PC das auch gleich berechnet. Wenn ein Farbeimer für
eine Fläche k
ausgelegt ist (der genaue Wert von k
hängt von der verwendeten Farbe ab und steht auf der Packung), so zeigt eine
einfache Schlussrechnung, dass
2(a
+ b)h
+ ab
- mpq
- nrs
k |
Farbeimer mitgenommen werden müssen. (Falls dieser Wert nicht ganzzahlig
ist, muss er natürlich aufgerundet werden, damit genug Farbe zur Verfügung steht). Auch diesen Term können
wir "in den Computer füttern". Sinnvoller aber ist es, die anzustreichende
Fläche nur einmal zu berechnen, also den Vorgang so zu programmieren:
- Berechne die Fläche
A
= 2(a
+ b)h
+ ab
- mpq
- nrs.
- Damit berechne die Zahl der nötigen Farbeimer
Gegebenenfalls runde auf die nächsthöhere ganze Zahl.
Hier haben wir eine wichtige Technik benutzt: die Verwendung von Abkürzungen
für Terme.
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1.5 Nachwort
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Wie wir sehen, treten Terme ganz zwanglos bei der Formulierung quantitativer Zusammenhänge
auf. Auch zwei wichtige Elemente der Schreibweise von Termen (um die es in diesem
Lernpfad ganz besonders gehen soll) haben wir bereits verwendet: Klammern und
Bruchstriche. Wir wollen in den folgenden Kapiteln einige grundsätzliche
Fragen behandeln (bzw. Sie daran erinnern) und uns dabei nicht in jedem Fall fragen,
woher die zu Beispielzwecken verwendeten Terme stammen. Stellen Sie sich,
wenn irgendein Term angegeben ist, einfach vor, dass er aus irgendeiner praktisch
relevanten Situation hervorgeht. Hätten wir die Geschichte mit den Farben und Flächen
nicht erzählt, so hätten Sie natürlich nicht recht gewusst, welche Bewandtnis es mit dem Term
2(a
+ b)h
+ ab
- mpq
- nrs
hat. Er enthält viele verschiedene Symbole, hat aber eine einfache Bedeutung.
Lassen Sie sich von Termen, deren Herkunft Ihnen nicht bekannt ist, nicht abschrecken!
Versuchen Sie einfach, sie als Anweisungen für Rechenschritte anzusehen,
deren Geschichte der Kürze halber nicht erzählt wird.
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