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1.1 Was versteht man unter Potenzen?
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Ihr habt in der Schule alle schon viel mit Potenzen gerechnet. Versuchen daher, auf einen Zettel folgende Fragen zu beantworten:
- Was ist ein allgemeiner Ausdruck für eine Potenz?
- Wie definiert man eine Potenz (d.h. Wie führt man eine Potenz auf bereits Bekanntes zurück?)
- Warum könnte man auf die Idee gekommen sein, Potenzen einzuführen?
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1.2 Definition: Potenz (mit Exponent aus den natürlichen Zahlen)
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an=a·a·a· ... ·a, a Î R, n Î N
wobei die rechte Seite ein Produkt von n gleichen Faktoren darstellt.
Außerdem gilt
a1=a und a0=1.
a nennt man Basis, n nennt man Exponent (Hochzahl) und an ist die Potenz (Potenzwert).
Warum glaubst du, müssen a1 und a0 extra definiert werden?
(Diese Frage soll dir ein Gefühl für die Wichtigkeit und Exaktheit von mathematischen Definitionen geben: Nichts wird doppelt definiert, Definitionen dürfen sich nicht widersprechen und jedes einzelne Element einer Definition ist genau durchdacht! Bei den Mathe-Vorlesungen kann es nützlich sein, wenn du dir zur Prüfungsvorbereitung bei Definitionen genau überlegst, warum sie so und nicht anders definiert werden! Hinterfrage immer alles gründlich, was du lernst. Außerdem: Es ist SEHR hilfreich, alle Definitionen EXAKT auswendig zu können!)
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1.3 Potenzen mit Exponenten aus den ganzen Zahlen
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Wo wir schon mal beim Hinterfragen von Definitionen sind:
Betrachte die obige Definition noch einmal und überlege, warum die Voraussetzung n Î N gewählt wurde. Du hast ja sicher schon Potenzen mit negativen Exponenten gesehen!
Wie könnte man nun obige Definition auf Exponenten aus den ganzen Zahlen ausdehnen? Einfach N durch Z ersetzen wird wohl nicht gehen, weil...?
Die exakte Definition findest du
hier!
Übrigens, so exakt war die Definition gar nicht... etwas Wichtiges fehlt noch:
Woraus können a und n gewählt werden?
(a Î R\{0}, n Î N. Warum?)
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1.4 Rechenregeln
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Vereinfache die folgenden Ausdrücke und schreibe dann zu jedem Punkt die entsprechende Rechenregel allgemein auf:
- Addition und Subtraktion von Potenzen:
a2 + a5 - 2a2 + b2 - 3b2
- Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:
a3 · a5
- Division von Potenzen mit gleicher Basis:
a4/a7
- Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten:
23· 53
- Division von Potenzen mit gleichem Exponenten:
63/23
- Potenzieren von Potenzen:
(a2)3
Hier findest du die Lösungen der Aufgaben und die allgemeinen Rechenregeln, die als Sätze formuliert sind. Als Sätze bezeichnet man in der Mathematik neue logisch gewonnene Erkenntnisse. Sätze müssen immer bewiesen werden, d.h. die logische Argumentation, die zur neuen Erkenntnis führt, muss gezeigt werden. Versuche nun, die Rechenregeln zu beweisen. Tipp: Setze die Definition ein und benutze bereits bekannte Rechenregeln (d.h. solche, die keine Potenzen verwenden).
Hier findest du die Beweise. Beachte: Oft gibt es mehrere richtige Beweise!
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