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3.1 ► Lage eines Punktes zu einer Geraden bzw. Ebene
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■ P Î g
2 = 5 + 8*g ® g = - 3/8
-1 = 3 - g ® g = 4
3 = 4 + 2*g ® g = -1/2
in diesem Fall ist P Ï g, da hier g unterschiedlich ist. Hätte g immer den gleichen Wert, dann wäre P Î g
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■ P Î e
ε in Normalform bringen:
ε : 3x - 8y + 23z = 14
Nun überprüfen wir, ob der Punkt (2|-1|3) auf der Ebene liegt.
3 * 2 + 8 * (-1) + 23*3 = 14
83 ¹ 14 ® P Ï e
Wäre die Gleichung richtig, dann würde P Îe sein.
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3.2 ►Lagebeziehung von 2 Geraden
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2 Geraden können zueinander parallel, identisch oder windschief sein oder sie schneiden sich.
· Nun überprüfen wir auf Parallelität:
g || h
g und h sind parallel, da der Richtungsvektor von h ein vielfaches vom Richtungsvektor g ist.
· Nun überprüfen wir auf Identität :
4 = 3 + a * 2 a = 1/2
7 = 2 + a * 4 a = 5/4
1 = 5 + a * 1 a = -4
g ist nicht identisch mit h , da der Parameter nicht gleich ist.
· Nun überprüfen wir ob sie sich schneiden :
3 + a * 2 = 4 + b * 4
2 + a * 4 = 7 + b * 8
5 + a * 1 = 1 + b * 2
Wenn man bei der Überprüfung keinen Schnittpunkt erhält und die Geraden weder identisch noch parallel sind, dann nennt man sie windschief.
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3.3 ►Lagebeziehung von g und e
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Þ -3x -16y + z = 14
e -3x -16y + z = 14
3 *( -1 + 2s) + 16 * (2 + s) - (3 + 3s) = -14 ® 19s = -40 ® s = -40/19
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Da wir für den Parameter s einen Wert erhalten haben, weiß man, dass sich die Gerade mit der Ebene schneidet. Würde s wegfallen, ist ein Schnitt ausgeschlossen. Würde die Gleichung z.B 12 = 40 ergeben, dann wäre die Gerade parallel zur Ebene. Würde das Ergbenis z.B 40 = 40 sein, dann wären die Gerade und die Ebene ident.
Nun berechnen wir den Schnittpunkt:
Hilfreiche Informationen und Beispiele !
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3.4 ►Lagebeziehung zwischen 2 Ebenen
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e1: 6x - 5y - 4z = 19
e2 y=0
wähle z = g
6x - 5y = 19 + 4 * g
y=0
6x = 19 + 4* g
x = 19/6 + 4/6 * g
y = 0 + 0 * g
z = 0 + 1 * g4
Die Schnittgerade
Wäre der Normalvektor der einen Ebene ein Vielfaches der zweiten Ebene, dann wären die beiden Ebenen parallel
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