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6.1 Kürzen und Erweitern
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Die Regeln für das Umformen von Bruchtermen ergeben sich unmittelbar
aus jenen für das Dividieren. Insbesondere gilt:
a
b |
|
c
d |
= |
a c
bd |
Dabei stehen a,
b,
c und
d für Zahlen oder
für Terme (wobei die Nenner
b und
d
natürlich ¹ 0 sein müssen).
Ist a = b,
so ergibt sich daraus mit
a/a = 1
die Regel für das Kürzen (bzw. umgekehrt
für das Erweitern):
ac
ad |
= |
c
d |
In Worten: Ein gemeinsamer Faktor von Zähler und Nenner, sofern er
¹ 0 ist, kann weggelassen werden.
Da gerade beim Kürzen und Erweitern viele Fehler gemacht werden, versuchen Sie
bitte, diese Regel zu möglichst genau verstehen und sie sich zu merken!
Theorie
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6.4 Die Sache mit dem "gemeinsamen Nenner"
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Will man aus irgend einem Grund die Summe (oder Differenz) zweier Brüche zu einem
einzigen Bruch umformen, so kann das durch geeignetes Erweitern
erzielt werden. Sehen Sie sich dieses Beispiel an:
(a
+ 3)2
a(a - 1) |
- |
(b
- 3)4
4a |
= |
4(a
+ 3)2
4a(a - 1) |
- |
(a
- 1)(b
- 3)4
4a(a
- 1) |
= |
| = |
4(a
+ 3)2 - (a -
1)(b
- 3)4
4a(a
- 1) |
Der Trick ist, die beiden Brüche zuerst "auf gemeinsamen Nenner" zu bringen
- danach lassen sich die Brüche addieren (oder subtrahieren),
indem einfach die Zähler addiert (oder subtrahiert) werden.
Manchmal ist es danach noch möglich bzw. sinnvoll, den Zähler des Ergebnisses weiter zu vereinfachen.
Aufgaben:
- Vollziehen Sie die Umformungen der obigen Rechnung im Detail nach!
Womit wurden die beiden Brüche des Ausgangsterms erweitert und warum gerade so?
- Gehen Sie analog vor, um
(a
+ 3)2
a(a
- 1) |
- |
2(b
- 3)4
3(a - 1) |
zu einem einzigen Bruch umzuformen!
- Versuchen Sie, das Prinzip, das hinter dieser Vorgangsweise steht,
verbal zu formulieren!
Wenn Sie die Grundidee verstanden haben, sollte Ihnen das Rechnen mit
Bruchtermen keine allzu großen Schwierigkeiten mehr machen!
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6.5 Mehrfachbrüche
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Sollten Sie einmal auf ineinandergeschachtelte Brüche stoßen,
so lassen Sie sich davon nicht abschrecken! Durch einfaches Erweitern
können Sie Brüche von Brüchen vereinfachen. Erweitern Sie den Doppelbruch
mit dem Produkt bd,
um zu beweisen, dass er gleich
ad
bc |
ist! Wieder ist es wichtiger, die Idee hinter dieser Vorgangsweise zu verstehen, als
sich eine Formel auswendig zu merken!
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6.6 Flugreise bei Wind
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Wozu brauchen wir eigentlich Bruchterme? Anstatt einer langen Antwort
führen wir zum Abschluss dieses Kapitels noch ein Beispiel vor, in dem
ein Bruchterm auftritt und ein Problem durch eine Termumformung gelöst wird:
Ein Flugzeug fliegt von Wien nach Paris und sogleich wieder nach Wien
zurück. Falls Windstille herrscht, legt es beide Routen mit der gleichen Geschwindigkeit zurück.
Falls Wind aus dem Westen weht, muss das Flugzeug beim Hinflug dagegen
ankämpfen, ist aber dafür beim Rückflug schneller.
(Wir nehmen an, dass die Wirkung des Windes darin besteht, dass
die Windgeschwindigkeit zur "Flugzeuggeschwindigkeit bei
Windstille" addiert bzw. von ihr subtrahiert
wird). Frage: Dauert die gesamte Reise bei Wind kürzer, länger oder
gleich lang wir bei Windstille?
Sei L
die Entfernung zwischen Wien und Paris,
v
die Geschwindigkeit des Flugzeugs bei Windstille und
w
die Windgeschwindigkeit.
Die Geschwindigkeit beim Hinflug ist
v - w
(wir nehmen natürlich an, dass w < v
ist), jene beim Rückflug ist
v + w.
Dann ist die für Hin- und Rückflug benötigte Gesamtzeit durch die Formel
gegeben. (Dabei wird das physikalische Gesetz
"benötigte Zeit = zurückgelegter Weg dividiert durch Geschwindigkeit"
für Hin- und Rückflug getrennt angewandt und danach die beiden Zeiten addiert).
Können wir diesem Bruchterm die Antwort auf die gestellte Frage entnehmen?
- Bei Windstille ist w = 0. In diesem
Fall reduziert sich unsere Formel auf
2L/v.
- Ist die Windgeschwindigkeit fast so groß wie die Reisegeschwindigkeit bei Windstelle, d.h. ist
w
fast so groß wie v,
dann ist die Differenz
v - w
sehr klein, und entsprechend ist der erste Bruch sehr groß! Zumindest in diesem
Fall dauert die Reise bei Wind länger.
- Um die Situation allgemeiner zu analysieren, formen Sie den obigen Term
zu einem einzigen Bruch um (bringen sie die beiden Brücher dazu "auf gleichen Nenner")
und multiplizieren Sie die Klammern im Nenner, den Sie erhalten,
aus! Als Ergebnis dieser kleinen Rechnung sollten Sie
2Lv
v2 - w2 |
erhalten.
- Sehen Sie diesem Term (ohne weitere Rechnung) an, dass die Reise immer, wenn
Wind geht, länger dauert als bei Windstille? Tipp: Wie verhält sich der Wert
des Terms, wenn w
verkleinert oder vergrößert wird?
Diesem Beispiel können Sie entnehmen: Bruchterme treten immer dann auf, wenn
eine Größe durch eine oder mehrere Divisionen zustande kommt, man sich aber
auf die konkreten Zahlen, durch die dividiert wird,
(noch) nicht festlegen möchte. Das ist in zahlreichen Fragen der Wissenschaft, Technik und
Wirtschaft der Fall.
Anwendungsbeispiel
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