Zahlenmengen und ihre Eigenschaften

Lernpfad erstellt und betreut von:

Gabriel Ranz

E-mail: gabriel.ranz@edu.uni-graz.at
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Übersicht:       
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1. Die natürlichen Zahlen ℕ
2. Die ganzen Zahlen ℤ
3. Die rationalen Zahlen ℚ
4. Die reellen Zahlen ℝ
5. Zusammenfassung und Ausblick
6. Quellenangabe

Die ganzen Zahlen ℤ
 
2.1 Definition der ganzen Zahlen
In der Behandlung der natürlichen Zahlen kam bereits zum Vorschein, dass einige mathematische Operationen aus ℕ herausführen.
Wenn man beispielsweise mehr Geld ausgibt, als einem zur Verfügung steht, wird der Kontostand durch eine negative Zahl angegeben, die außerhalb der natürlichen Zahlen liegt.
Auch in anderen Bereichen des Lebens stößt man auf Aufgaben, die "neue Zahlen", sprich negative ganze Zahlen und die Null, notwendig machen:
Temperaturangaben im Winter (z.B. - 15° C), Höhen und Tiefen bezogen auf den Meeresspiegel (z.B. 0m über Meeresniveau), Gewinn und Verlust im Geschäftsleben (z.B. - 100 €) etc.

Man gelangt so zur Menge ℤ der ganzen Zahlen. Diese lässt sich auf folgende Weise schreiben:

ℤ = {..., -3,-2,-1,0,+1,+2,+3...}


Die Definition der ganzen Zahlen zeigt, dass in dieser Menge auch alle natürlichen Zahlen enthalten sind.
Dies lässt sich formal auf folgende Weise ausdrücken: ℕ⊂ ℤ. Man sagt: Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen ℤ.

Genauer gesagt: Die natürlichen Zahlen werden als die positiven ganzen Zahlen angesehen. Dies bedeutet: 1=+1, 2=+2, oder allgemeiner: n=+n für alle n ∈ ℕ.
Auch dafür gibt es eine formale Schreibweise: ℕ = ℤ+. Die natürlichen Zahlen sind schlichtweg die positiven Elemente aus ℤ.
Mit dieser Notation lässt sich ℤ auch auf folgende Weise schreiben: ℤ = ℕ∪ ℤ-∪ {0}

Im Folgenden fassen wir die wichtigsten Eigenschaften der Menge ℤ zusammen:

1.) Jede ganze Zahl besitzt genau zwei Nachbarn, einen Vorgänger und einen Nachfolger.
2.) Es gibt in ℤ weder eine größte noch eine kleinste Zahl. Auf dem Zahlenstrahl erstrecken sich die ganzen Zahlen auf beiden Seiten ins Unendliche.
3.) Zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen liegt keine weitere ganze Zahl.






 
2.2 Rechenoperationen innerhalb von ℤ
Da die natürlichen Zahlen ℕ Teilmenge der ganzen Zahlen ℤ sind, sind Addition und Multiplikation natürlich auch in ℤ unbeschränkt durchführbar.
Das heißt: Für alle ganzen Zahlen a,b ∈ ℤ gilt: a·b ∈ ℤ sowie a+b ∈ ℤ.

Im Gegensatz zu den natürlichen Zahlen ℕ wird aber in ℤ auch bei Durchführung der Subtraktion die Menge nicht verlassen, d.h. die Subtraktion ist in ℤ stets ausführbar.
In formaler Schreibweise: Für alle ganzen Zahlen a,b ∈ ℤ gilt: a-b ∈ ℤ.
Hierin liegt der wesentliche Unterschied zwischen den natürlichen und den ganzen Zahlen.

Doch nicht jede mathematische Operation lässt sich in ℤ unbeschränkt ausführen.
Obwohl das Ergebnis einer Division zweier ganzen Zahlen wiederum in ℤ liegen kann, ist dies im Allgemeinen nicht der Fall.
Bsp: 4:2 = 2 ∈ ℤ, jedoch 4:3 = 4/3 ∉ ℤ.

Wir halten fest: Die Division ist in ℤ nicht unbeschränkt ausführbar, d.h. das Ergebnis einer Division zweier ganzer Zahlen muss nicht in ℤ liegen.



Entscheide in der abschließenden Übung, ob die jeweiligen Zahlen in ℤ liegen oder nicht.




 
2.3 Die Betragsfunktion |x|
Betrachtet man die ganzen Zahlen auf dem Zahlenstrahl, so kann man deren Abstand vom Ursprung bestimmen.
Es zeigt sich, dass unterschiedliche ganze Zahlen den gleichen Abstand vom Nullpunkt haben, so ist +5 vom Ursprung gleich weit entfernt wie (-5).

Wir nennen den "Abstand", den eine beliebige Zahl x vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl hat, den Betrag von x und bezeichnen ihn mit |x|.Dabei gilt:

|x| = x, falls x≥0
|x| = -x, falls x<0



Daraus ergibt sich: |5| = 5 und |-5| = 5, d.h. die Punkte -5 und +5 haben den gleichen Abstand zum Ursprung.
Diese Definition macht Sinn: So ist |x| immer größer oder gleich Null, so wie man es sich von einem Abstand erwartet.
Weiters gilt, dass |x| stets die größere der beiden Zahlen x und -x ist. Man schreibt: |x| = max(x,-x).

Die Betragsfunktion ist nicht nur nützlich um den Abstand einer Zahl zum Nullpunkt anzugeben, sondern auch für den Abstand zwischen zwei Zahlen x und y.
So ist |x-y| der Abstand zwischen den zu x und y gehörenden Punkten auf der Zahlengerade.
Außerdem gilt: |x-y| = |y-x|, d.h. ein Punkt x ist von einem anderem Punkt y soweit entfernt, wie y von x entfernt ist.
Lässt sich dies auch aus der Definition der Betragsfunktion schließen? Halte in deinem Übungsbuch fest!




 
2.4 Mathematisches Lexikon - G
http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/g.html

Vergleiche die hier gegebene Präsentation der ganzen Zahlen mit dem Eintrag im Mathe-Online Lexikon.
Worin bestehen Gemeinsamkeiten und Unterschiede?




 
2.5 Arbeitsblatt zu den ganzen Zahlen
Beantworte folgende Punkte auf einem mit dem Mathematik Add-In gestalteten Arbeitsblatt.
Lade dieses Arbeitsblatt dann auf der Moodle-Seite zum Lernpfad hoch!

1.) Welche Eigenschaften haben die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen gemein?

2.) Worin unterscheiden sich die Elemente der Mengen ℕ und ℤ?

3.) Warum gibt |x-y| den Abstand der Zahlen x und y auf dem Zahlenstrahl wider? Begründe!

4.) Was bedeutet ℕ ⊂ ℤ und warum gilt es?

5.) Welche Zahlen z erfüllen die Beziehung |z| ∈ ℤ-?




 
2.6 Multiple-Choice Test zu den ganzen Zahlen
Überprüfe dein bereits erworbenes Wissen zur Menge ℤ der ganzen Zahlen anhand eines Multiple-Choice Tests.
Hinweis: Es können unterschiedlich viele Fragen richtig sein. Von keiner einzigen bis zu allen Fragen ist alles möglich!

Multiple-Choice Test zu den ganzen Zahlen ℤ




 
2.7 Geschichtliches zu den ganzen Zahlen
Die Erweiterung des Zahlbegriffes auf die negativen Zahlen fand in verschiedenen Kulturen fast gleichzeitig statt. In einem chinesischen Rechenbuch wurden Regeln für das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen gefunden. Auch die Inder hatten verschiedene Bezeichnungen für Positives und Negatives.
Diophant von Alexandrien, er lebte im 3.Jahrhundert n. Chr., gab folgende Rechenregel für negative Rechengrößen an: “Minus mal minus ergibt plus, minus mal plus ergibt minus“. Meist wurden negative Zahlen aber nur als Hilfsmittel für algebraische Zwischenlösungen verwendet, als Lösungen von Gleichungen wurden sie lange nicht anerkannt.
Erst bei Leonardo von Pisa (12. Jahrhundert) – auch Leonardo Fibonacci genannt – trat eine negative Zahl als Lösung einer Gleichung auf. Erstaunlich ist, dass viele Mathematiker bis ins 16. und 17. Jahrhundert negative Zahlen ablehnten. Erst im späten 19. Jahrhundert entwickelte sich ein neues Verständnis negativer Zahlen.




 
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