|
2.1 Definition der ganzen Zahlen
|
 
|
In der Behandlung der natürlichen Zahlen kam bereits zum Vorschein, dass einige mathematische Operationen aus ℕ herausführen.
Wenn man beispielsweise mehr Geld ausgibt, als einem zur Verfügung steht, wird der Kontostand durch eine negative Zahl angegeben, die außerhalb der natürlichen Zahlen liegt.
Auch in anderen Bereichen des Lebens stößt man auf Aufgaben, die "neue Zahlen", sprich negative ganze Zahlen und die Null, notwendig machen:
Temperaturangaben im Winter (z.B. - 15° C), Höhen und Tiefen bezogen auf den Meeresspiegel (z.B. 0m über Meeresniveau), Gewinn und Verlust im Geschäftsleben (z.B. - 100 €) etc.
Man gelangt so zur Menge ℤ der ganzen Zahlen. Diese lässt sich auf folgende Weise schreiben:
ℤ = {..., -3,-2,-1,0,+1,+2,+3...}
Die Definition der ganzen Zahlen zeigt, dass in dieser Menge auch alle natürlichen Zahlen enthalten sind.
Dies lässt sich formal auf folgende Weise ausdrücken: ℕ⊂ ℤ. Man sagt: Die Menge ℕ der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen ℤ.
Genauer gesagt: Die natürlichen Zahlen werden als die positiven ganzen Zahlen angesehen. Dies bedeutet: 1=+1, 2=+2, oder allgemeiner: n=+n für alle n ∈ ℕ.
Auch dafür gibt es eine formale Schreibweise: ℕ = ℤ+. Die natürlichen Zahlen sind schlichtweg die positiven Elemente aus ℤ.
Mit dieser Notation lässt sich ℤ auch auf folgende Weise schreiben:
ℤ = ℕ∪ ℤ-∪ {0}
Im Folgenden fassen wir die wichtigsten Eigenschaften der Menge ℤ zusammen:
1.) Jede ganze Zahl besitzt genau zwei Nachbarn, einen Vorgänger und einen Nachfolger.
2.) Es gibt in ℤ weder eine größte noch eine kleinste Zahl. Auf dem Zahlenstrahl erstrecken sich die ganzen Zahlen auf beiden Seiten ins Unendliche.
3.) Zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen liegt keine weitere ganze Zahl.
|
|
2.3 Die Betragsfunktion |x|
|
|
Betrachtet man die ganzen Zahlen auf dem Zahlenstrahl, so kann man deren Abstand vom Ursprung bestimmen.
Es zeigt sich, dass unterschiedliche ganze Zahlen den gleichen Abstand vom Nullpunkt haben, so ist +5 vom Ursprung gleich weit entfernt wie (-5).
Wir nennen den "Abstand", den eine beliebige Zahl x vom Nullpunkt auf dem Zahlenstrahl hat, den Betrag von x und bezeichnen ihn mit |x|.Dabei gilt:
|x| = x, falls x≥0
|x| = -x, falls x<0
Daraus ergibt sich: |5| = 5 und |-5| = 5, d.h. die Punkte -5 und +5 haben den gleichen Abstand zum Ursprung.
Diese Definition macht Sinn: So ist |x| immer größer oder gleich Null, so wie man es sich von einem Abstand erwartet.
Weiters gilt, dass |x| stets die größere der beiden Zahlen x und -x ist. Man schreibt: |x| = max(x,-x).
Die Betragsfunktion ist nicht nur nützlich um den Abstand einer Zahl zum Nullpunkt anzugeben, sondern auch für den Abstand zwischen zwei Zahlen x und y.
So ist |x-y| der Abstand zwischen den zu x und y gehörenden Punkten auf der Zahlengerade.
Außerdem gilt: |x-y| = |y-x|, d.h. ein Punkt x ist von einem anderem Punkt y soweit entfernt, wie y von x entfernt ist.
Lässt sich dies auch aus der Definition der Betragsfunktion schließen? Halte in deinem Übungsbuch fest!
|
|
2.5 Arbeitsblatt zu den ganzen Zahlen
|
|
Beantworte folgende Punkte auf einem mit dem Mathematik Add-In gestalteten Arbeitsblatt.
Lade dieses Arbeitsblatt dann auf der Moodle-Seite zum Lernpfad hoch!
1.) Welche Eigenschaften haben die natürlichen Zahlen und die ganzen Zahlen gemein?
2.) Worin unterscheiden sich die Elemente der Mengen ℕ und ℤ?
3.) Warum gibt |x-y| den Abstand der Zahlen x und y auf dem Zahlenstrahl wider? Begründe!
4.) Was bedeutet ℕ ⊂ ℤ und warum gilt es?
5.) Welche Zahlen z erfüllen die Beziehung |z| ∈ ℤ-?
|
|
2.6 Multiple-Choice Test zu den ganzen Zahlen
|
|
Überprüfe dein bereits erworbenes Wissen zur Menge ℤ der ganzen Zahlen anhand eines Multiple-Choice Tests.
Hinweis: Es können unterschiedlich viele Fragen richtig sein. Von keiner einzigen bis zu allen Fragen ist alles möglich!
Multiple-Choice Test zu den ganzen Zahlen ℤ
|
|
2.7 Geschichtliches zu den ganzen Zahlen
|
|
Die Erweiterung des Zahlbegriffes auf die negativen Zahlen fand in verschiedenen Kulturen fast gleichzeitig statt. In einem chinesischen Rechenbuch wurden Regeln für das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen gefunden. Auch die Inder hatten verschiedene Bezeichnungen für Positives und Negatives.
Diophant von Alexandrien, er lebte im 3.Jahrhundert n. Chr., gab folgende Rechenregel für negative Rechengrößen an: “Minus mal minus ergibt plus, minus mal plus ergibt minus“. Meist wurden negative Zahlen aber nur als Hilfsmittel für algebraische Zwischenlösungen verwendet, als Lösungen von Gleichungen wurden sie lange nicht anerkannt.
Erst bei Leonardo von Pisa (12. Jahrhundert) – auch Leonardo Fibonacci genannt – trat eine negative Zahl als Lösung einer Gleichung auf. Erstaunlich ist, dass viele Mathematiker bis ins 16. und 17. Jahrhundert negative Zahlen ablehnten. Erst im späten 19. Jahrhundert entwickelte sich ein neues Verständnis negativer Zahlen.
|
Lernpfadseite als User öffnen (Login)
Falls Sie noch kein registrierter User sind, können Sie sich einen neuen Zugang anlegen. Als registrierter User können Sie ein persönliches Lerntagebuch zu diesem Lernpfad anlegen.
|
