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1.1 Gleichungen - Grundbegriffe
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Viele Praktische Probleme lassen sich in Knapper Form nur mit Hilfe von Gleichungen
formulieren. Mit Gleichungen lässt sich beschreiben oder modellieren, wie
bestimmte Dinge in unserer Welt ablaufen. Unentdeckte Größen, die in Gleichungen auftreten,
können in systematischer Weise ermittelt werden, was einen großen Teil mathematischer
Arbeit in technischen Anwendungen ausmacht.
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1.2 Grundbegriffe Beispiel
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Bei einer dreitägigen Paddeltour werden insgesamt 65 km zurückgelegt.
Die erste Tagesetappe ist doppelt so lang wie die dritte.
Die zweite ist um 10 km kürzer als die erste.
Wie lang sind drei Tagesstrecken?
Lösung
Ansatz:
Es geht darum , aus den Textinformationen eine Gleichung zu formulieren (modellieren).
Obwohl in der Aufgabe nach drei verschiedenen Weglängen gefragt wird,
können diese durch eine einzige ausgedrückt werden. Dazu eignet sich gut die Länge der dritten
Tagesstrecke, die mit s bezeichnen.Dann sind die Längen der drei Etappen:
Skizze:
Die gesuchte Gleichungen ergibt sich daraus, dass die Summe der 3 Einzeletappen gleich 65 km ist:
2s + (2s-10)+s = 65
Wir haben dabei die linke Seite der Gleichung mit TL (Links - Term) und die rechte Seite mit TR (Rechts - Term) bezeichnet.
Die Gleichung enthält die Variable s, nach der sie aufzulösen ist. Diese Variable heißt allgemein Gleichungsvariable oder Unbekannt der
Gleichung. Die Menge der Zahlen, die für die Einsetzung der Gleichungsvariablen zur
Verfügung stehen, nennt man die Grundmenge G. Sie wird hier sinnvollerweise durch
die nicht negativen reellen Zahlen gebildet, da s die Bedeutung einer Weglänge hat, die
nicht negativ sein kann:
G = [0,∞[.
Man könnte G noch weiter einschränken, da auch Zahlen über 65 nicht mehr in Betracht kommen.
Aus der Grundmenge muss man gegebenenfalls Zahlen ausschließen, die einen
Gleichungsterm sinnlos machen (beispielsweise, um eine Division durch 0 zu vermeiden).
Die so entstehende"Restmenge" bezeichnet man als die Definitionsmenge D
der Gleichung, also ist die Definitionsmenge ist eine Teilmenge der Grundmenge.
In unserem Beispiel brauchen aus G ausgeschlossen werden. d.h. Definitionsmenge = Grundmenge
Lösungen heißen alle jene Zahlen aus der Definitionsmenge D, die die Gleichung erfüllen.
Sie bilden die Lösungsmenge L. In unserem gibt es nur eine Lösung; wir
schreiben : L = {15}.
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1.3 Antwort
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Bei einer Textaufgabe sollte das Ergebnis durch eine Antwort formuliert werden, die
auch eine Wertung des Ergebnisses, eine Interpretation, enthalten kann.
Am ersten Tag werden 30km , am zweiten 20km und am dritten 15km zurückgelegt.
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1.4 Probe
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Bei der Probe setzt man das Ergebnis an stelle der Variable in die modellierten Gleichungen ein.
Die Summe der drei Weglängen ist 65km: 30km + 20km + 15km = 65km.
Die Weglänge am 1.Tag ist doppelt so groß wie am 3.Tag: 30km = 2·15 km
Die Weglänge am 2.Tag ist um 10km geringer als am 1.Tag: 20km = 30km - 10km
Damit stimmt die Probe.
oder mathematischer ausgedrückt:
Setze in 2s + (2s-10)+s = 65 für s = 5 so bekommst du als Ergebnis 65 = 65.
damit ist die Probe durchgeführt, und korrekt.Sind die Zahlen nicht gleich
ist das Ergebnis für s nicht richtig!
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1.5 Definition
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Werden zwei Terme TL und TR durch ein Gleichheitszeichen verbunden, so spricht man von einer Gleichung: TL = TR
Lernstoff
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1.6 Übungsbeispiele
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unter einfach findest du Gleichungen mit einer Unbekannten.Beispiele
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