Dieser Lernpfad soll ein Gefühl dafür vermitteln, was man unter Integrieren versteht. Gleichzeitig soll er zeigen, wie "einfache" Integrale gelöst werden können und ,verbunden damit, wie man die Fläche unter einer Kurve bekommt.
Weiters werden einige Anwendungen der Integralrechnung angeführt.
Die Lösungen zu allen Übungsbeispielen finden Sie am Ende des Lernpfads. |
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Hilfe |
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1. Was Sie bisher über das Integral wissen
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Wiederholen Sie in eigenen Worten, was Sie unter dem Integralbegriff bestehen. Was fällt Ihnen zu den Stichworten "Stammfunktion","Unbestimmtes - Bestimmtes Integral","Summen- und Konstantenregel", "Substitutionsmethode" und "Flächeninhaltsproblem" ein?
Schreiben Sie alles, was Ihnen dazu einfällt, stichwortartig in das Lerntagebuch!
Wiederholung,Eintrag in das Lerntagebuch
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2. Integrieren - "Umkehrung des Differenzierens"
http://www.unet.univie.ac.at/~a9805206/
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Lesen Sie diesen Exkurs und schreiben Sie in ihr Lerntagebuch, wie Sie damit zurecht gekommen sind. Versuchen Sie folgende Fragen in ihrem Lerntagebuch zu beantworten:
Was bedeutet "Integrieren"?
Warum gibt es nicht nur eine Stammfunktion? (Zeichnung)
Formulieren Sie die Definition von "unbestimmten Integral"!
Kann man jede Funktion integrieren? (Begründung)
Eintrag in das Lerntagebuch, Übungsaufgaben
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4. Beispiele zu Konstanten- und Summenregel
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Lösen Sie folgende Beispiele: Integral von (4x^2)*dx & Integral von (4-4x+x^2)*dx
Übungsaufgaben
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5. Substitutionsmethode
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Lesen Sie den Abschnitt "Substitutionsmethode" dieses Kapitels der mathematischen Hintergründe und versuchen Sie die Methode der dort gerechneten Beispiele zu verstehen!
Berechnen Sie folgende Integrale und kontrollieren Sie durch Differenzieren!
Fällt Ihnen dabei etwas auf? Tragen Sie Ihre Beobachtungen ins Lerntagebuch ein!
a) ∫ (3x – 1)^3 ∙dx b) ∫ x^2 ∙ (2x^3 – 5)^2 ∙dx
c) ∫ 5/(3 – 2x) ∙dx d) ∫ x ∙ (3x^2 – 1)^7 ∙dx
e) ∫ x^2 / (2x^3 – 7)^5 ∙dx
f) ∫ e^(-3x) ∙dx
g) ∫ x ∙ e^(1 – 2x^2) ∙dx
h) ∫ cos(3x) ∙dx
i) ∫ sin² x ∙ cos x ∙dx j) ∫ (2x – 4) / (x^2 – 4x + 5)^(1/3) ∙dx
Eintrag in das Lerntagebuch, Übungsaufgaben
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6. Wiederholung der Substitutionsmethode und der Grundintegrale
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Versuchen Sie folgende Regeln zu begründen und erläuteren Sie sie jeweils an zwei Beispielen, die Sie sich selbst ausdenken!
a)Integral von (f(x))^n * f´(x) * dx = 1/(n+1) * (f(X))^(n+1) (+ c)
b)Integral von f´(x) / f(x) ∙dx = ln If(x)I
Selfchecking Test, Übungsaufgaben
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7. Partielle Integration
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Lesen Sie sich den Abschnitt "Partielle Integration" dieses Kapitels durch und versuchen Sie die Vorgangsweise der dort vorgerechneten Beispiele zu verstehen! Beantworten Sie folgende Frage im Lerntagebuch: Warum ist es nicht immer egal, welche Funktion man mit f und welche man mit g bezeichnet?
Lernstoff,, Eintrag in das Lerntagebuch
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8. Viele Wege führen nach Rom
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Berechnen Sie folgende Integrale auf 3 verschiedene Arten ( durch „Ausrechnen“ des Integranden, durch Substitution sowie durch part. Integration) :
a) ∫x ∙ (x^2 + 3)^2 ∙dx
b) ∫ x ∙ (4 – x^2)^3 ∙dx
Übungsaufgabe, Wiederholung, Selfchecking Test
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10. Bestimmtes Integral
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Formulieren Sie die Definition vom bestimmten Integral und nennen Sie ein Beispiel dafür wie man das bestimmte Integral deuten bzw. auffassen kann
Wiederholung, Eintrag in das Lerntagebuch
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11. Aufgabe zur Theorie
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Versuchen Sie die folgende Aussage zu beweisen (machen Sie sich dazu eine geeignete Skizze!): Für jede stetige Funktion f auf einem Intervall [a,b] & jeden Wert c mit a kleiner c kleiner b gilt: best. Integral f(x) von a nach b = dem best. Integral f(x) von a nach c + dem best. Integral f(x) von c nach b nach dx
Übungsaufgabe, Selfchecking Test, Vertiefung
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12. Beispiel zur Flächenberechnung
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Wiederhole die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes zwischen den Graphen von zwei Funktionen und berechne damit das folgende Beispiel auf zwei Arten: Berechne den Inhalt der von den beiden Kurven begrenzten Fläche! f: y^2=8x & g: y^2=3x+10! Vergleiche deinen Ansatz und deine Lösung mit dem mathematischen Hintergrund der Integralrechnung!
Eintrag in das Lerntagebuch, Übungsaufgabe, Selfchecking Test
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13. Uneigentliche Integrale
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Was sind uneigentliche Integrale und welche Möglichkeit gibt es diese zu berechnen? Erläutere die Problemstellung durch eine geeignete Skizze!
Vertiefung, Eintrag in das Lerntagebuch, Übungsaufgabe
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14. Das bestimmte Integral als Grenzwert von Summen
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Lesen Sie sich den mathematischen Hintergrund zu diesem Kapitel durch und beantworten Sie danach folgende Fragen: Was versteht man unter dem Riemann-Integral? Halten Sie in Ihrem Lerntagebuch fest warum diese Methode das Integral einzuführen für Sie geeigneter bzw. nicht so geeignet ist, als die Einführung über den Flächeninhalt!
Vertiefung, Eintrag in das Lerntagebuch, Lernstoff
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15. Der Hauptsatz der Integralrechnung
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Formulieren Sie den Hauptsatz der Integralrechnung und versuchen Sie diesen an Hand einer geeigneten Skizze mit eigenen Worten wiederzugeben!
Vertiefung, Eintrag in das Lerntagebuch, Übungsaufgabe, Lernstoff
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16. Berechnung von Rauminhalten
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Wie Sie der Überschrift dieses Teils des Lernpfades entnehmen können, ist neben dem Berechnen von Flächeninhalten die Berechnung von Rauminhalten eine andere wichtige Anwendung der Integralrechnung! Lesen SIe sich den mathematischen Hintergrund dazu durch, wiederholen Sie die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern und versuchen Sie die dort durchgerechneten Beispiele nachzuvollziehen und zu verstehen!!
Lernstoff, Wiederholung, Übungsaufgaben, Eintrag in das Lerntagebuch
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18. Aufgabe zur Theorie
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Sie sehen also, dass es beim Berechnen von Rauminhalten im Gegensatz zur Berechnung von Flächeninhalten NICHT egal ist um welche Achse man den Graphen der Funktion rotieren lässt! Bei der Rotation der Ellipse b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 (a>b) um die erste bzw. zweite Achse entsteht ein eiförmiges bzw. linsenförmiges Drehellipsoid. Leite die angegebene Volumsformel der beiden Drehellipsoide her! Veranschauliche das ganze durch eine passende Skizze! Welcher Sonderfall tritt ein, wenn a=b ist? [eiförmiges Drehellipsoid: V=4ab^2Pi/3 bzw. linsenförmiges Drehellipsoid: V=4a^2bPi/3]
Vertiefung, Übungsaufgabe, Selfchecking Test, Eintrag in das Lerntagebuch
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19. Zusammenfassung
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Wiederholen Sie die wichtigsten Rechenregeln! Formulieren Sie , was Sie nun unter dem Integralbegriff alles verstehen und vergleichen Sie ihre Aufzeichnungen mit denen, die Sie in Punkt 1 aufgeschrieben haben! Zitieren Sie die wichtigsten Sätze aus dem Theorieteil!
Wiederholung, Eintrag in das Lerntagebuch, Vertiefung
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20. Das Integral und Winkelfunktionen
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Kontrollieren Sie sich selbst in wie fern Sie mit dem Lösen von Integralen, in denen Sinus und Kosinus im Integranden stehen, vertraut sind, indem Sie folgende interaktive Tests machen! Versuchen Sie zusätzlich die Ergebnisse aus den Beispielen auch hinsichtlich der Vorstellungen "Flächen unter der Sinus- bzw. der Kosinuskurve" zu interpretieren! Bestimmte Sinusintegrale & Bestimmte Cosinusintegrale
Eintrag in das Lerntagebuch, Übungsaufgaben, Selfchecking Test, Vertiefung, Wiederholung
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21. Das Integral intuitiv verstehen
http://www.mathe-online.at/galerie/int/int.html#intuitiv
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Dieser Link bringt Sie zu einem Applet zum Thema Integrieren aus dem Angebot von Mathe-online. Öffnen Sie das Applet und klicken Sie auf den Button "Aufgaben". Lesen Sie sich die "Bedienungsanleitung" zum Applet durch und überlegen Sie sich die dort formulierten Aufgaben. Versuchen Sie sich die elementaren Zusammenhänge der beiden Graphen zu verdeutlichen!
Wiederholung, Vertiefung
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