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3.1 Wichtige Eigenschaften
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- Die allgemeine Form der Exponentialfunktion lautet: f(x) = a* b x .
- Der Parameter a wird auch Streckfaktor genannt, und b die Basis .
- Ist a negativ, wird die Kurve zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
- Die Graphen der allgemeinen Exponentialfunktionen enthalten die Punkte (0 | a) und (1 | b * a).
- Die allgemeine Exponentialfunktion nähert sich der x-Achse an, das heißt sie besitzt keine Nullstellen. (Da sie die x-Achse nie berührt oder schneidet.)
=> Die x-Achse bzw. die Gerade g: y = 0 ist die waagerechte Asymptote der Exponentialfunktion.
- Jeder Graf einer allgemeinen Exponentialfunktion (unabhängig von der Basis b) verläuft durch denselben Punkt P (0/1)
- Sie ist streng monoton steigend ∀x>0 und streng monoton fallend ∀x<0.
- Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion.
- In der Funktionsgleichung y = a*b x +d bewirkt der Parameter d eine Verschiebung des Funktionsgraphen der allgemeinen Exponentialfunktion y = a*bx in Richtung der y-Achse .
Durch die Verschiebung nach unten kann eine Nullstelle hinzukommen.
- In der Funktionsgleichung y=a*b x+ c bewirkt der Parameter c eine Verschiebung der Exponentialkurve y = a*b x in Richtung der x-Achse.
Dieser Parameter ändert den Wertebereich jedoch nicht.
- Die Exponentialfunktion wird häufig mithilfe der Euler'schen Zahl (=e) als Basis dargestellt.
- NICHT VERGESSEN: (ex )' = ex
So sieht eine allgemeine Exponentialfunktion aus:
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3.2 Durchgerechnetes Beispiel einer Kurvendiskussion
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Kurvendiskussion der Exponentialfunktion f:
f(x) = (x-2) * e 0,5x
- Definitionsmenge:
Es gibt keine Einschränkung in der Menge der reellen Zahlen.
- Nullstellen bestimmen:
Laut Produkt-Null-Satz gilt:
f(x) = 0 ⇔
e 0,5x = 0 oder (x-2) = 0
⇒ e 0,5x = 0 existiert nicht! (Da die allgemeine Exponentialfunktion die x-Achse nur annähert, aber nie berührt)
⇒ x - 2 = 0 ⇔ x = 2
Es existiert also eine Nullstelle im Punkt N(2/0)
- Extremwerte bestimmen:
Setze f'(x) = 0
f'(x) = 0,5x * e 0,5x (ergibt sich durch Anwenden der PRODUKTREGEL)
(0,5x) * e 0,5x = 0 ⇔
0,5x = 0 ⇔
x = 0 ⇔
Wir erhalten also einen Extremwert im Punkt E(0|-2)
Um zu sehen ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, setzen wir den x-Wert in die 2. Ableitung ein.
f''(0) = 0,5 > 0
⇒ Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt T(0|2).
- Wendepunkte bestimmen:
Setze f''(x) = 0
f''(x) = (0,25x + 0,5) * e 0,5x
0,25x + 0,5 = 0 ⇔
0,25x = -0,5 ⇔
x = -2
Um zu überprüfen ob es wirklich ein Wendepunkt ist, setzen wir x in die 3. Ableitung ein.
f'''(-2) = 0,0197 ≠ 0
⇒ Die Funktion besitzt einen Wendepunkt W(-2| -4 / e )
- Tangentensteigung:
Um die Tangentensteigung von Punkten zu bestimmen, setzen wir nun die x-Werte der Nullstellen und Wendepunkte in die erste Ableitung der Funktion ein.
f'(2) = 2,718
f'(-2) = -0,368
- Graph zeichnen:
- Monotonieverhalten:
Die Funktion f ist monoton fallend im Intervall: (-∞ ; 0).
Die Funktion f ist monoton steigend im Intervall: (0 ; ∞).
- Krümmungsverhalten:
Die Funktion f ist positiv gekrümmt im Intervall: (-2 ; ∞).
Die Funktion f ist negativ gekrümmt im Intervall: (-∞ ; -2).
- Symmetrie:
Die Funktion f ist nicht symmetrisch bezüglich der y-Achse.
Beweis:
Wähle x = 2.
f(2) = 0
f(-2) = -1,472 ≠ f(2).
- Asymptotisches Verhalten:
Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen?
lim (x→∞) [(x - 2) * e 0,5x ] = ∞ * ∞ = ∞
lim (x→ -∞) [(x - 2) * e 0,5x] = "[-∞ * 0]" → Das ist nicht definiert.
⇒ Weil die Exponentialfunktion aber streng monoton steigend ist in diesem Bereich und schneller gegen 0 strebt, als (x-2) gegen -∞, gilt:
lim (x→ -∞) [(x - 2) * e 0,5x] = 0.
Das heißt also, je größer die x-Werte, desto größer auch ihre Funktionswerte, und
je kleiner die x-Werte, desto näher sind sie zu 0.
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3.3 Hausübung: Führt eine vollständige Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion durch.
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Nun sollt ihr euer Können beweisen!
Führt eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion
f(x) = e 1-x²
durch.
Visualisiert den Graphen eurer Funktion bitte mit GeoGebra und ladet die Datei auf der Moodle Platform "5. Einheit" hoch.
Hier
kommt ihr direkt dort hin!
Gutes Gelingen. :)
Hausaufgabe
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