Bis jetzt haben wir uns nur mit dem Sonderfall des rechtwinkligen Dreiecks beschäftigt.
Nun wollen wir unsere Winkelfunktionen auch beim allgemeinen Dreieck anwenden.

Sinussatz (mit Übungsbeispiel):
Sei folgendes Dreieck gegeben:


γ=180°-(α+β)
durch hc wird aus dem allgemeinen Dreieck zwei rechtwinklige Dreiecke.

         hc
sin(α)= ———  ⇒  hc = b*sin(α)
         b
                                ⇒  a*sin(β) = b*sin(α)
         hc
sin(β)= ———  ⇒  hc = a*sin(β)
         a

oder man zeichnet die Höhe bei einer anderen Seite ein:


         ha
sin(β)= ———  ⇒  ha = c*sin(β)
         c
                                ⇒  b*sin(γ) = c*sin(β)
         ha
sin(γ)= ———  ⇒  ha = b*sin(γ)
         b

Wir erhalten nun:
                          b       a
 a*sin(β) = b*sin(α) ⇒  ————— = —————
                        sin(β)  sin(α)    
und:
                          b       c
 c*sin(β) = b*sin(γ) ⇒  ————— = —————
                        sin(β)  sin(γ)    
                            
Daraus erhalten wir den Sinussatz:
   a       b       c
 ————— = ————— = —————
 sin(α)  sin(β)  sin(γ)    

 wobei α gegenüber a liegt, β gegenüber b liegt und γ gegenüber c liegt

Aufgabe: Übertrage zumindest die Formel des Sinussatzes in dein Schulübungsheft.

Sei folgendes Dreieck gegeben:


Wieder teilen wie das allgemeine Dreieck in 2 rechtwinklige Dreiecke:

         u
cos(α)= ———  ⇒  u = b*cos(α)
         b
                                ⇒  a*sin(β) = b*sin(α)
         hc
sin(α)= ———  ⇒  hc = b*sin(α)
         b

v=c-u, Im Dreieck DBC kann der Satz des Pythagoras angewendet werden:
a²=hc²+v²=(b*sin(α))²+(c-u)²=b²*sin²(α)+(c-b*cos(α))²=
=b²*sin²(α)+c²-2*c*b*cos(α)+b²*cos²(α)=b²*(sin²(α)+cos²(α))+c²-2*b*c*cos(α)=
=b²+c²-2*b*c*cos(α)

Wenn man statt der Höhe hc die Höhe ha oder hb einzeichnet,
erhält man die beiden anderen Gleichungen und wir können zusammenfassen:

a²=b²+c²-2*b*c*cos(α)
b²=a²+c²-2*a*c*cos(β)
c²=b²+a²-2*b*a*cos(γ)


Aufgabe: Übertrage zumindest die Formel des Sinussatzes in dein Schulübungsheft.

Aufgabe: Übertrage die Tabelle in dein Schulübungsheft.

Wenn man von einem Dreieck zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel kennt, kann man auch ganz einfach die Fläche berechnen:


    c * hc
A = —————— Wir wissen bereits: hc= b* sin(α)
      2

⇒ A = ½*b*c*sin(α)

Durch andere Höhen (ha,hb) erhalten wir auch:
A = ½*a*c*sin(β) und A = ½*a*b*sin(γ)

⇒ A = ½*b*c*sin(α) = ½*a*c*sin(β) = ½*a*b*sin(γ)


Aufgabe: Übertrage zumindest die Formel der Fläche in dein Schulübungsheft.