|
4.1 Gauß'sche Zahlenebene
|
|
Wir kennen nun schon einige Rechenregeln und können Gleichungen höheren Grades lösen.
Nun ist es an der Zeit, dass wir auch eine Möglichkeit finden komplexe Zahlen grafisch darzustellen.
Um uns as Leben nicht unnötig schwer zu machen, suchen wir uns selbstverständlich eine möglichst einfache Form der Darstellung, mit der wir trotzdem gut arbeiten können und die selbstverständlich eindeutig ist.
Schon in der Unterstufe arbeiteten wir mit mit Zahlenstrahlen, auf denen wir jede beliebige Zahl auftragen konnten.
Wie wir jedoch bereits erkannt haben, können komplexe Zahlen nicht geordnet werden, weshalb ein einfacher Zahlenstrahl offensichtlich nicht genügt.
Aus der Darstellung der Form z=a+bi, können wir jedoch zwei reelle Zahlen herauslesen:
den Realteil a und den Imaginärteil b.
Das können und werden wir nun nutzen indem wir zwei Zahlenstrahlen normal aufeinander schneiden und den Schnittpunkt als gemeinsamen Nullpunkt definieren.
Wir erhalten so ein Koordinatensystem, welches - wie wir es am liebsen haben - auch noch kartesisch ist.
Auf die "x-Achse" tragen wir den Realteil a unserer komplexen Zahl z auf und auf die "y-Achse" wird der Imaginärteil aufgetragen.
Wir erhalten so eine eindeutige Darstellung komplexer Zahlen, denn zwei komplexe Zahlen sind dann und nur dann gleich, wenn ihre Realteile und Imaginärteile übereinstimmen.
Auch das klingt unter umständen komplizierter als es tatsächlich ist, daher sehen wir uns das ganze einfach anhand einer dynamischen Grafik an:
Neuer Stoff
|
|
4.2 Polardarstellung von komplexen Zahlen
|
|
Sehen wir uns die Grafik noch einmal etwas genauer an, so sehen wir, dass wir den Winkel φ, den die Strecke (Länge r=Betrag der komplexen Zahl) zwischen Nullpunkt und z mit der reellen Achse einschließt mit Hilfe von Winkelfunktionen ganz leicht ausdrücken können:
tanφ = b/a ⇒ φ = arctan(b/a).
Auch r lässt sich leicht ermitteln, da r ja nichts anderes als der Betrag der komplexen Zahl ist.
r = |z| = √(a2+b2).
Wir können also auch mit Hilfe des Betrages und des Winkels (Argument) der komplexen Zahl eine Eindeutige Darstellung derselben finden.
Drücken wir a bzw. b durch Betrag und Argument der komplexen Zahl aus, so kommen wir auf folgenden Zusammenhang:
cosφ = a/r ⇒ a = rcosφ
sinφ = b/r ⇒ b = rsinφ
Hier ist jedoch Vorsicht geboten! Achste beim Umformen auf den Quadranten, da sonst Vorzeichenfehler auftreten!
Setzen wir das nun in die vertraute Darstellung z=a+bi ein, erhalten wir auch schon die Polardarstellung unserer komplexen Zahl:
z = rcosφ+irsinφ = r(cosφ+isinφ)
.
Eine andere Art der Darstellung, die direkt aus der "normalen" Polardarstellung abgelesen werden kann, bietet die Euler-Formel:
r(cosφ+isinφ) wird hierbei einfach als r*eiφ geschrieben.
Wollen wir von der Polardarstellung auf die Binomialform (neuer Begriff für die gewohnet Form z=a+bi!) kommen, so bilden wir einfach den Cosinus bzw. Sinus unseres Arguments und multiplizieren beide Terme mit r.
Neuer Stoff
|
|
4.3 Multiplikation und Division mit Hilfe der Polardarstellung
|
|
Selbstverständlich hätten wir die Polardarstellung nicht eingeführt, hätte sie keinen Nuzen für uns.
Die Polardarstellung erleichtert uns die - sowieso schon recht einfache - Multiplikation und Division von komplexen Zahlen.
Multiplikation in der Polardarstellung:
Wollen wir zwi komplexe Zahlen in der Polardarstellung Multiplizieren, gilt für den Beträge der beiden Zahlen und deren Produkt folgender Zusammenhang:
|z1*z2| = |z1|*|z2|.
Für die Argumente gilt folgender einfacher Zusammenhang:
arg(z1*z2) = arg(z1)+arg(z2).
Sollte sich hierbei ein Winkel von über 360° ergeben, zieht man einfach 360° vom Argument ab.
Division in der Polardarstellung:
Ein ähnlich simpler Zusammenhang zwischen den Beträgen wie bei der Multiplikation gilt auch bei er Division zweier komplexer Zahlen in Polardarstellung:
|z1/z2| = |z1|/|z2|.
Auch für die Argumente gibt es einen einfachen Zusammenhang:
arg(z1/z2) = arg(z1)-arg(z2).
Sollte es hier zu einem negativen Argument kommen, werden einfach 360° zum erhaltenen Argument addiert.
Neuer Stoff
|
|
4.4 Potenzieren und Wurzelziehn in der Polardarstellung
|
|
Wie für die Multiplikation und Division gelten auch für das Potenzieren und das Wurzelziehen komplexer Zahlen in olardarstellung einfache Zusammenhänge der Beträge und Argumente.
Potenzieren in der Polardarstellung:
Wir wissen, dass das Potenzieren nichs anderes ist als eine mehrmalige (je nach Potenz) multiplikation einer Zahl oder eines Terms mit sich selbst.
Daraus erkennt man leicht die Regeln für das Potenzieren in Polardarstellung.
Für die Beträge gilt folgender Zusammenhang:
|zn| = |z|n
Auch der Zusammenhang für die Argumente ist leicht nachvollziehbar:
arg(zn) = n*arg(z).
Wurzelziehen in der Polardarstellung:
Dank der Polardarstellung können wir nun auch die (n-ten) Wurzeln aus komplexen Zahlen betrachten.
Wir wissen, dass man n√(z) auch als z1/n schreiben können, was uns sofort an das Potenzieren in Polardarstellung denken lässt.
Es ergibt sich folgender Zusammenhang für die Beträge:
|n√(z)| = |z1/n| = |z|1/n = n√(|z|).
Auch für die Argumente ergibt sich aus dem Zusammenhang zwischen Potenzieren und Wurzelziehen ein einfacher Zusammenhang, wobei man hier beachten muss, dass die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl auch n Lösungen besitzt:
arg(n√(z)) = (arg(z)/n)+(360°/n)*k wobei nacheinander k=0,1,...,n-1 gesetzt wird um alle Lösungen zu erhalten.
Neuer Stoff
|
|
4.5 Kurz und bündig
|
|
Kurz und bündig
|
Lernpfadseite als User öffnen (Login)
Falls Sie noch kein registrierter User sind, können Sie sich einen neuen Zugang anlegen. Als registrierter User können Sie ein persönliches Lerntagebuch zu diesem Lernpfad anlegen.
|
