Nun, wir kennen bereits die Möglichkeit, die Steigung einer Geraden zu berechnen. Was ist aber, wenn wir eine Kurve haben, deren Steigung wir bestimmen wollen? Das Problem dabei ist, dass jeder Punkt dieser Kurve eine andere Steigung besitzt. Mit Hilfe der Differentialrechnung erhalten wir ein Werkzeug, welches uns die Berechnung der Steigung einer Kurve in einem Punkt erlaubt.

Die zuvor beschriebene Problematik wird in der Literatur auch häufig als Tangentenproblem bezeichnet.

Daher wird zuerst die Steigung der Sekante in einem endlichen Intervall berechnet.

Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; daher auch ihre Bezeichnung "Differenzenquotient". Mit der Kurznotation ∆y für f(x₀+∆x)-f(x₀) kann man auch abgekürzt schreiben:

Um nun die Tangentensteigung zu berechnen, muss der Punkt Q dem Punkt P immer weiter angenähert werden. Das heißt mein ∆x nähert sich Null. Auf diesem Grenzübergang beruht auch die folgende Definition:

Folgende Animation wird dir diesen Grenzübergang nochmals genauer veranschaulichen.

Das Video in obigen Link gibt dir nochmals einen guten Überblick, um was es sich bei der Differentialrechnung eigentlich handelt, welcher Grundgedanke dahintersteckt und wie man zu der fundamentalen Formel der Differentialrechnung gelangt.

Teste dein Wissen bzgl. der wichtigsten Begriffe zur Differentialrechnung mit Hilfe dieses kurzen Lückentextes.

Um nicht immer die Ableitung mit Hilfe der doch unter Umständen etwas komplexeren Grenzwertberechnung bestimmen zu müssen, solltest du dir die in den beiden folgenden Kapiteln beschriebenen Ableitungsregeln näher anschauen. Diese werden dir Helfen, auf einem einfacheren Weg deine Funktionen zu differenzieren.