Ein wichtiges Einsatzgebiet der Differentialrechnung befindet sich in der Kurvendiskussion. Damit steht dir ein mächtiges Werkzeug zur Verfügung, auf welches du auch später in den Bereichen Wirtschaft, Technik u.v.m. zurückgreifen kannst.

Wir werden aber in diesem Abschnitt nur einige wenige Merkmale behandeln. Vor allem konzentrieren wir uns auf besondere Punkte einer Funktion wie bspw. Nullstellen, Extrempunkte sowie Wendepunkte. Solltest du dich aber mehr dafür interessieren, findest du auf Wikipedia bzw. mathe-online weitere Informationen.

Als Nullstellen einer Funktion werden ihre Schnittpunkte mit der x-Achse bezeichnet. Um die Nullstelle(n) einer Funktion zu berechnen, wird die Funktionsgleichung gleich Null gesetzt. Anschließend löst du die Gleichung nach x auf und erhältst dadurch alle x-Koordinaten deiner Nullstellen. Die y-Koordinaten sind logischerweise 0.

Beispiel:
f(x) = x² - 7x + 10; Berechne die Nullstellen.
  0  = x² - 7x + 10 Quadratische Gleichung lösen ==> x₁=2 ; x₂=5

Die Nullstellen der Funktion sind: N₁(2|0) und N₂(5|0)
Hier findest du die Lösung nochmals grafisch dargestellt.

Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkt) besitzten waagrechte Tangenten. Diese Tatsache hilft uns sehr bei der Berechnung dieser Punkte.

Setzen wir die 1. Ableitung unserer Funktion gleich Null, erhalten wir potentielle Anwärter für Hoch- und Tiefpunkte. Wir erinnern uns, die 1. Ableitung entspricht der Steigung der Tangente in diesem Punkt.
Nachdem wir diese Gleichung nun wiederum nach x aufgelöst haben, setzen wir die Ergebnisse in unserer Funktionsgleichung ein, um die y-Koordinaten der Extrempunkte zu erhalten. Wir müssen nun aber noch unterscheiden, ob es sich um einen Hoch- bzw. Tiefpunkt handelt.

Dazu benötigen wir die 2. Ableitung unserer Funktion. Auch in dieses ermittelte Gleichung werden die zuvor berechneten x eingesetzt:
f''(x) > 0 ==> Tiefpunkt (positive Krümmung)
f''(x) < 0 ==> Hochpunkt (negative Krümmung)

Beispiel:
f(x) = x² -7x + 10. Bestimme die Extrema der Funktion.

f'(x) = 2x - 7
   0 = 2x - 7 Lösen der Gleichung ==> x = 3.5

x einsetzen in f(x):
3.5² - 7*3.5 + 10 = -2.25

bestimmen ob Hoch- oder Tiefpunkt:
f''(x) = 2 ==> Tiefpunkt
(Da hier in der 2. Ableitung kein x mehr vorhanden ist, kann die Lösung sofort abgelesen werden. Ansonsten müsste auch hier 3.5 in f''(x) eingesetzt werden.)

Es ist nur ein Extrempunkt vorhanden. Es handelt sich dabei um einen Tiefpunkt T(3.5|-2.25).
Anhand dieser Grafik kannst du das Ergebnis nochmals kontrollieren.

Wie dir bei den Extrempunkten vielleicht schon aufgefallen ist, wurde der Fall f''(x) = 0 nicht behandelt. Genau diese Bedingung benötigen wir, um den oder die Wendepunkt(e) einer Funktion bestimmen zu können.

Das heißt, um einen Wendepunkt zu berechnen muss die 2. Ableitung der Funktion gleich Null gesetzt werden. Diese Gleichung wird nach x gelöst und das Ergebnis wiederum in f(x) eingesetzt, um die potentiellen y-Koordinaten unserer Wendepunkte zu erhalten.

Auch hier bedarf es wieder eine Überprüfung, ob es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt. Bestimme dazu die 3. Ableitung der Funktionsgleichung und setze deine zuvor berechneten x darin ein. Wenn das Ergebnis nicht Null ist, handelt es sich um einen Wendepunkt.

Beispiel.:
f(x) = x³ - 3x² + 2; Bestimmen den Wendepunkt der Funktion.

 f'(x) = 3x² - 6x
f''(x) = 6x - 6
    0  = 6x - 6 Lösen der Gleichung ==> x = 1

x einsetzten in f(x):
1³ - 3*1² + 2 = 0

Überprüfung ob Wendepunkt:
f'''(x) = 6 ==> Wendepunkt

Die Funktion besitzt einen Wendepunkt W(1|0).
Auch hier kannst du das Ergebnis mit einer Grafik kontrollieren.

Wende dein Wissen bei diesem Kreuzworträtsel an.