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1.1 Die Kreisgleichung
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Definition und Gleichung des Kreises:
Definition:
Die Menge aller Punkte X (der Ebene), die von einem gegebenen Punkt M den Abstand r haben, ist die Kreislinie k mit Mittelpunkt M und Radius r:
k[M;r] = {X|XM = r}
Spezielle Kreisgleichung:
Koordinaten des Mittelpunktes: M (xM|yM)
Koordinaten eines Punktes auf dem Kreis: X (x|y)
Radius r :(X-M)2 = r2
(x-xM)2 + (y-yM)2 = r2
Liegt der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung, dann lautet die Kreisgleichung:
x2+y2=r2
Allgemeine Kreisgleichung:
A,B,C,D ∈ reellen Zahlen, A ≠ 0
Ax2+Ay2+2Bx+2Cy+D=0
Parameterdarstellung:
t∈[0 ; 2π[
x = xM + r * cos (t)
y = yM + r * sin (t)
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1.2 Beispiel:
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k [ M ( 5 | - 4 ) ; 5 ]
[X-M]2=52
(x-5)2+(y+4)2=25 ... Koordinatenform
x2-10x+25+y2+8y+16=25
x2+y2-10x+8y+16=0 ... Allgemeine Form
Vertiefung
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1.3 Lagemöglichkeit einer Geraden bezüglich eines Kreises
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Lagemöglichkeit einer Geraden bezüglich eines Kreises
Um die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und eines Kreises rechnerisch zu bestimmen, vergleicht man den Abstand d, zwischen der Geraden und dem Kreismittelpunkt, mit dem Radius des Kreises. Es gibt drei verschiedene Möglichkeiten wie eine Gerade zu einem Kreis liegen kann:
1. Wenn d < r, so schneidet die Gerade den Kreis in zwei Schnittpunkten. Diese Gerade wird Sekante genannt.
2. Wenn d = r, so berührt die Gerade den Kreis in einem Punkt, dieser Punkt wird Berührpunkt, und die Gerade wird Tangente genannt.
3. Wenn d > r, so geht die Gerade am Kreis vorbei. Diese Gerade wird Passante genannt.
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Um den Abstand einer Geraden vom Kreismittelpunkt berechnen zu können benötigen wir die Hesse‘sche Normalform.
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1.4 Schnittpunktberechnung
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Schnittpunktberechnung
Um die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Sekante zu berechnen, muss man die Gleichung des Kreises k mit der Gleichung der Geraden g zu einem Gleichungssystem zusammenfassen und die Lösungsmenge bestimmen. Die quadratische Gleichung kann entweder keine, eine oder zwei Lösungen haben. Wenn sie keine Lösung besitzt ist es eine Passante, wenn sie eine Lösung besitzt ist es eine Tangente und wenn sie zwei Lösungen besitzt ist es eine Sekante.
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1.5 Beispiel
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Berechne die Schnittpunkte der Geraden g mit dem Kreis k.
k: X2 =25 => x2 + y2 = 25 => M(0|0), r = 5
g: x - 2y = - 5
g: x = 2y - 5
(2y - 5)2 +y2 = 25
4y2 - 20y +25 +y2 = 25
5y2 - 20y = 0
y (5y-20) = 0
y1 = 0 => x1 = -5
y2 : 5y - 20 = 0
5y = 20
y = 4
y2 = 4 => x2 = 3
S1 = (0|-5)
S2 = (4|3)
Vertiefung
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1.6 Kreistangenten
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Kreistangenten
Eine Gerade ist genau dann eine Tangente, wenn sie mit dem Kreis k genau einen Punkt, den Berührpunkt T, gemeinsam hat.
Normalvektorform der Tangentengleichung:(T-M)⋅(X-T)=0
Spaltform der Tangentengleichung:(T-M)⋅(X-M)=r²
Berührbedingung:
Mit der Berührbedingung stellt man fest, ob eine gegebene Gerade eine Tangente an den Kreis k ist.
(k*xM- yM+d)² = r²⋅(k²+1)
Liegt der Mittelpunkt M im Ursprung lautet die Berührbedingung d² = r² ⋅(k²+1)
Schnittwinkelberechnung:
Der Schnittwinkel einer Gerade g mit einem Kreis k ist jener Winkel, den die Gerade mit der Tangente im Punkt S einschließt.
Falls diese Gerade eine Tangente ist, so ist der Schnittwinkel 0°.
Den Schnittwinkel kann man auf verschiedene Arten berechnen.
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1.7 Beispiele
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Gegeben ist der Kreis k: (x+12)²+(y-8)² = 36 und die Gerade g: 5x-12y =71
Ermittle die Gleichungen der zu g parallelen Tangenten an den Kreis.
k=5/12, xM = -12, yM = 8, r = 6 setzen wir in die Berührbedingung ein erhalten wir:
(5/12 ⋅ (-12) -8 +d)² =36 ⋅((5/12)²+1)
(-13+d)² = 36⋅ 169/144
(-13+d)² =169/4
(-13+d)² =(13/2)²
d 1 = 13 + 13/2
d 2 = 13 - 13/2
t 1 = 5/12 ⋅ x +39/2
t 2 = 5/12 ⋅ x +13/2
Vertiefung
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