Zusammenfassung:

Ungleichungen sind ''Behauptungen''. Für manche Werte der Unbekannten stellen sie wahre Aussagen dar. Diese Werte heißen Lösungen. Einfache Ungleichungen können durch Anwendung systematischer Methoden gelöst werden.

Eine Ungleichung in einer Variablen (Unbekannten) x ist eine ''Behauptung'' der Form 

wobei Linke Seite und Rechte Seite Terme sind, die von x abhängen. Dabei steht x für ein - zunächst beliebiges - Element einer Menge G (Grundmenge), die zusätzlich zur Gleichung angegeben sein muss. Wird die Grundmenge nicht eigens erwähnt, so wird üblicherweise angenommen, dass sie gleich der Menge R der reellen Zahlen ist.

Eine Lösung der Gleichung ist ein Element x Î G, für welches die Behauptung eine wahre Aussage ist. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und wird üblicherweise mit L bezeichnet. Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein.

Achtung: Die Variable (Unbekannte) wird zwar oft x genannt, kann aber auch mit anderen Buchstaben bezeichnet werden.

Falls Du mit dem
Thema
Schwierigkeiten
hast, hilft Dir
vielleicht die kleine
Einführung
weiter.

Willst du eine Ungleichung lösen, dann versuchst du jene Elemente deiner Grundmenge G zu finden, welche die Ungleichung erfüllen. Diese gefundenen Elemente bilden dann die Lösungsmenge L.
Es muss gelten: L Ì G

 In der Einführung haben wir gesehen, dass sich bei Äquivalenzumformungen von Ungleichungen das Ungleichheitszeichen ändert, falls mit einer negativen Zahl multipliziert bzw. dividiert wird.

Wichtig:

• Multiplizierst oder dividierst du eine Ungleichung mit einem Term T(x), so musst du grundsätzlich die Fälle T(x) > 0 & T(x) < 0 unterscheiden (Fallunterscheidung), da sich bei T(x) < 0 das Ungleichheitszeichen ändert. Siehe dazu auch lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten.
• Das beidseitige Multiplizieren einer Ungleichung mit Null ist keine Äquivalenzumformung: Wenn du an eine Waage (deren Schalen ungleich beladen sind) denkst, würde „mal Null“ bedeuten, dass du alles abräumst. Danach wäre die Waage aber im Gleichgewicht (Null = Null).

Rechenregeln

© Gerald

Eine lineare Ungleichung (in der Variablen x) ist eine Gleichung der Form

wobei A, B, C und D vorgegebene (bekannte) Zahlen sind.

Zwei Beispiele für lineare Ungleichungen:

 

3x -13 > 4x + 7	(A = 3, B = -13, C = 4, D = 7)
	(A = -3/2, B = 3, C  = 1, D = -1/3)

 

Lösen des zweiten Ungleichungssystems in R:

	|	-x, -3
-5x/2 £ -10/3	|	. (-2)    Vorzeichen !!
5x ³ 20/3	|	: 5
x ³ 4/3

L = {x Î R | x ³ 4/3}

Die graphische Darstellung der Lösungsmenge L:

Wie würde L für x Î N aussehen (graphisch)?

© Gerald

In diesem Abschnitt sollen mehrere (zwei, drei,...) Ungleichungen miteinander verknüpft werden.

Es gibt mehrere Arten, diese Verknüpfung herzustellen. Wir wollen uns die zwei wichtigsten ansehen:

Hier werden zwei, drei,... Ungleichungen mit der logischen Operation UND verknüpft.

Es wird also nach Elementen der Grundmenge gefragt, welche die erste und die zweite (und die dritte,...) Ungleichung erfüllen.

Allgemein gilt:

Beispiel UND

Verbindende Ungleichungssysteme werden oft ohne das Zeichen " ^ " angeschrieben, man schreibt die Ungleichungen untereinander.

Hier werden zwei, drei,... Ungleichungen mit der logischen Operation ODER verknüpft.

Es wird also nach Elementen der Grundmenge gefragt, welche die erste oder die zweite (oder die dritte,...) Ungleichung erfüllen.

Allgemein gilt:
 

Beispiel ODER

weitere Aufgaben

quadratische Ungleichungen

Quadratische Ungleichung sind Ungleichungen der Art

Die Ungleichung kann auch unscharf sein.

Die Lösungsmenge L dieser Ungleichung enthält alle reellen Zahlen x, die die Ungleichung erfüllen, also:

Um eine derartige Ungleichung zu lösen, löst man zuerst die dazugehörige quadratische Gleichung:

p(x) = a·x² + b·x + c = 0 

Mit Hilfe des Vietaschen Satzes (LINK: Vietascher Satz) kann diese quadratische Gleichung dann als Produkt von Linearfaktoren geschrieben werden:

wobei x₁ und x₂ Lösungen der quadratischen Gleichung p(x) = a·x² + b·x + c = 0 sind.

1. Fall:

Soll nun die quadratische Ungleichung p(x) = a·x² + b·x + c < 0 gelöst werden, dann bedeutet dies nach der obigen Faktorzerlegung:

(x - x₁)(x - x₂) < 0

Das Produkt zweier Faktoren ergibt genau dann ein negatives Ergebnis, wenn die Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben. Es gibt genau zwei Kombinationen bei denen das der Fall ist:

Die Aussagen in den beiden Konjunktionen müssen gleichzeitig wahr sein. Daraus kann man schließen, welche der Varianten die Lösung ist.

2. Fall:

Soll nun die quadratische Ungleichung p(x) = a·x² + b·x + c > 0 gelöst werden, dann bedeutet dies nach der obigen Faktorzerlegung:

(x - x₁)(x - x₂) > 0

Das Produkt zweier Faktoren ergibt genau dann ein positives Ergebnis, wenn die Faktoren gleichzeitig dasselbe Vorzeichen haben. Es gibt wiederum genau zwei Kombinationen bei denen das der Fall ist:

Die Aussagen in den beiden Konjunktionen müssen wiederum gleichzeitig wahr sein. Daraus lässt sich dann erneut die Lösung schließen.

Ein Spezialfall bei der Lösung einer quadratischen Ungleichung ergibt sich dann, wenn die Lösungen der dazugehörigen quadratischen Gleichung zusammenfallen, d.h.: x₁  =  x₂  =  a.

Bei der Faktorzerlegung mit Hilfe des Vietaschen Satzes ergibt sich dann:

(x - x₁)(x - x₂) = (x - a)(x - a) = (x - a)²

Dann gilt für die Ungleichung (x - a)²  < 0, dass sie für keine reelle Zahl erfüllt ist, da ein Quadrat einer Zahl nie negativ sein kann – Lösungsmenge L = Ø

Die Ungleichung (x - a)²  > 0 ist allerdings für alle reellen Zahlen außer für x = a erfüllt, denn nur für x = a wird (x - a) = 0. Ansonsten ist das Quadrat (x - a)²  immer positiv
Lösungsmenge L = R \ {a}.

Graphisch entspricht diesem Fall eine nach oben offene Parabel, deren Scheitelpunkt die x-Achse in x = a berührt. (SKIZZE?)

Kommen wir noch kurz zum Fall von komplexen Lösungen:

x²  - 2x + 2 < 0
p(x) = x²  - 2x + 2

Man sieht leicht, dass die Gleichung p(x) = 0 nur komplexe Lösungen hat:

 x₁ = 1 - i und x₂ = 1 + i.

Die  Funktion p(x) = x²  - 2x + 2 ist eine Parabel, deren Scheitelpunkt über der x-Achse liegt.

Also gibt  es keinen Wert x , für den die Ungleichung x²  - 2x + 2 < 0 erfüllt wäre – Lösungsmenge L = Ø.

Aber die Ungleichung x²  - 2x + 2 > 0 hat eine Lösung, genauer gesagt unendlich viele Lösungen: L = R , da alle reellen Zahlen diese Ungleichung erfüllen (s. Graphik)

Abschließend fassen wir noch einmal die wichtigsten Schritte zum Lösen einer quadratischen Ungleichung zusammen:

1.) Man löse zunächst die quadratische Ungleichung nach 0 auf, d. h. man bringe alles auf eine Seite.

2.) Man bestimme die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung.

3.) Man denke sich den Graphen der zugehörigen quadratischen Funktion p(x) (Nach oben oder nach unten geöffnete Parabelfunktion; die gerade berechneten Lösungen p(x) = 0 sind die Nullstellen derselben!)

4.) Entweder man spaltet die quadratische Gleichung mit Hilfe des Vietaschen Satzes in die Linearfaktoren auf und bestimme dann durch die obigen Fallunterscheidungen die Lösungsmenge L oder man bestimme die Lösungsmenge L mit Hilfe einer Grobskizze der zugehörigen Parabelfunktion.