Differenzenqotient
Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt kannst du erarbeiten, wie man mit Hilfe des Differenzenqoutienten die Steigung eines Funktionsgraphen an einer Stelle x0 bestimmt.
Stefan Eckert, Erstellt mit GeoGebra
Aufgaben
1.
Lege die Stelle x0, an der die Steigung des Graphen bestimmt werden soll, durch Verschieben des Punktes A fest.
2.
Da nicht klar ist, wie man die Steigung an einer einzelnen Stelle bestimmen soll, versuchen wir dieses Problem zurückzuführen auf die Bestimmung einer durchschnittlichen Steigung in einem Intervall. (Das können wir schon mithilfe der mittlernen Änderungsrate.)
Die eine Intervallgrenze ist das eben eingestellte x0. Die andere Grenze x kann mit Hilfe des Punktes B festgelegt werden. Jetzt haben wir ein Intervall [x0; x], gekennzeichnet durch die blauen gestrichelten Linien.
3.
Nun legen wir eine Gerade durch A und B (eine sogenannte Sekante), deren Steigung wir mit den grünen Linien (Steigungsdreieck) leicht bestimmen können. Aktiviere das Kontrollkästchen "Sekante einblenden"!
Die so berechnete Steigung ist die durchschnittliche Steigung des Funktionsgraphen auf dem Intervall [x0; x].
Der Bruch Δy / Δx, mit dem sie berechnet wird, heißt übrigens Differenzenquotient.
4.
Wenn du nun den Punkt B immer näher an A heranbewegst (damit also das Intervall immer schmaler machst), so erhältst du immer bessere Näherungswerte für die Steigung an der Stelle x0 selbst.
Was passiert mit dem Differenzenquotienten Δy / Δx , wenn du mit A genau auf B fährst? Kann man dann überhaupt noch einen Wert ausrechnen?
5.
Halten wir abschließend fest:
Bei Annäherung von x gegen x0 nähert sich die Sekante einer Tangente an (Die kannst du dir mit dem zweiten Kontrollkästchen auch noch einzeichnen lassen.) Die Steigung dieser Tangente ist die Steigung der Kurve an der Stelle x0.
Das heißt, wir erhalten die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x0 zunächst nicht als direkt berechenbaren Wert sondern lediglich als Grenzwert einer Folge von Sekantensteigungen.
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