Bisher haben wir genau genommen nur über Rechenregeln gesprochen. Nun wollen wir uns zum ersten Mal einer "richtigen" mathematischen Problemstellung zuwenden. Betrachten wir eine positive reelle Zahl. Gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl ist?

Aus Beobachtung wissen wir schon, dass:

3² = 3 · 3 = 9
4² = 4 · 4 = 16
5² = 5 · 5 = 25

Weiters haben wir auch schon in der Geometrie die Quadratwurzel gezogen. Wenn wir jetzt nochmal auf unsere Beobachtung oben schauen und unser Wissen über Quadratwurzeln berücksichtigen, können wir erkennen, dass es einen Zusammenhang gibt:


Also haben wir eine Antwort zu unserer Frage gefunden:
Ja es gibt eine positive reelle Zahl(3) deren Quadrat die Zahl gegebene Zahl 9 ergibt. 3² = 9
Es gibt aber auch noch einige andere Zahlenpaare, die wir für die Beantwortung unserer Frage heranziehen könnten (siehe oben).

Wir haben aber auch gesehen, dass:

daraus vermuten wir einen Zusammenhang von Quadratwurzeln und x².

Die obige Vermutung kann man verallgemeinern: Die n-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist jene nichtnegative Zahl b, deren n-te Potenz gleich a ist.

Formal bedeutet dies dann:

a, b aus den reellen Zahlen wobei a ≥ 0 und b ≥ 0 und n aus den natürlichen Zahlen ohne der Null:



Dabei heißt a Radikand, n Wurzelexponent und b Wurzel(wert)



Witers führen wir folgende Definition ein:

Mit der Definition in 4.2 können wir nun auch Potnezen mit rationalen Exponenten betrachtne und es gilt:

Die Rechenregeln der Wurzeln ergeben sich aus jenen der Potenzen.
Für positive Zahlen a und b und n, m, k aus den natürlichen Zahlen gelten die folgenden Rechengesetze:

(1) Teilweises (partielles) Wurzelziehen:
Hierbei wird der Radikand so geschickt in mindestens zwei Faktoren zerlegt, dass aus zumindest einem Faktor die Wurzel gezogen werden kann.

(2) Wurzelfreimachen des Nenners:
Hierbei wird ein Bruch, dessen Nenner eine Wurzel enthält, so erweitert, dass die Wurzel im Nenner wegfällt.

Folgende Beispiele sollen dir eine Überblick über diese Technik geben:

Definition:

Die Funktion w_n: R₀⁺ —> R₀⁺ mit der Funktionsgleichung

n aus den Natürlichen Zahlen ohne Null heißt Wurzelfunktion.