4.2 Definition
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Wurzeln können auch als Potenzen dargestellt werden. Hol nocheinmal das Schulübungsheft heraus und sieh dir die Rechenregeln für Wurzeln an. Bei genauem Hinsehen wirst du sehen, dass es Analogien zu den Rechenregeln für Potenzen gibt. Das rührt nicht von ungefähr, wir können Potenzen in geeigneter Weise mit rationalen Exponenten definieren und so den Potenzbegriff neuerlich erweitern.
Definition 4.2.1: ∀aÎR+, ∀kÎZ, ∀nÎN: ak/n=n√ak
Bezüglich der Eindeutigkeit dieser Darstellung als Potenz gilt folgendes:
Satz 4.2.2: Es seien aÎR+, k, k´ ÎZ und n, n´ ÎN. Dann gilt:
n√ak=n´√ak´ Û k/n=k´/n´
Das heißt, dass der Wert von ak/n von der Wahl der Bruchdarstellung für die rationale Zahl k/n unabhängig ist.
Lernstoff
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4.3 Rechenregeln
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Durch die Einführung von Potenzen mit rationalen Exponenten ergeben sich mehrere Vorteile. Zum einen wird durch die neue Schreibweise das (sperrige) Wurzelzeichen entbehrlich und zum anderen gelten die Rechenreglen für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten weiter.
Satz 4.3.1: ∀a, bÎR+, ∀r, sÎQ:
(1) ar·as=ar+s
(2) (ar)s=ar·s
(3) (a·b)r=ar·br
Mittels dieser Regeln lassen sich 4 weitere Regeln ableiten, die aber nur Zusammenfassungen des bereits Bekannten sind. Diese Regeln leite ich für euch an der Tafel ab!
Lernstoff
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4.4 Anwendungen
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Potenzen mit rationalen Exponenten kommen in den Naturwissenschaften häufig vor. Diese Anwendungen sind jedoch nicht so alltäglich wie jene in Kapitel 2. Folgende Anwendungen seien stellvertretend für die Menge an Beispielen angeführt:
·Physik, Zusammenhang zwischen Druck, Volumen und absoluter Temperatur bei Zustandsänderungen.
·Astronomie, 3. Keplersches Gesetz
·Geometrie, Zusammenhänge zwischen Rauminhalt und Oberfläche von z.B. Würfeln.
Praxisbezug
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4.5 Übungsbeispiel zum sofort machen
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Hier kannst du überprüfen ob du das Kapitel schon gut beherrschst.
Übung
Selfchecking Test
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4.6 Beispiele für das Schulübungsheft
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Beispiel 1.) Vereinfache so weit wie möglich: [2(Ö2a)·31/2b1/3]/[3a3/2·(3Ö2b2)]
Beispiel 2.) Vereinfache so weit wie möglich: [(Öx+y)-(Öx-y)]2
Beispiel 3.) Berechne im Kopf: 3Ö(64/272)
Übungsaufgaben
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