Beispiel für einen FunktionenraumAndreas Pester
Fachhochschule Techikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at
Zusammenfassung: In
diesem Abschnitt wird kurz erläutert, daß es sich bei dem Lösungsraum für
lineare Differentialgleichungen auch um einen Vektorraum handelt
Die linearen Differentialgleichungen y'' = 0, y'' + y = 0 und y'' - y = 0 haben bekanntlich folgende Lösungen:
| Differentialgleichung | allgemeine Lösung | Basis des Lösungsraums |
| y '' = 0 | y(x) = c1·x + c2 | y1 = x und y2 = 1 |
| y'' + y = 0 | y(x) = c1·cos(x) + c2· sin(x) | y1 = cos(x) und y2 = sin(x) |
| y'' - y = 0 | y(x) = c1·ex + c2· e-x | y1 = ex und y2 = e-x |
Alle Räume haben die Dimension 2 und sind Unterräume des Raumes aller stetigen Funktionen.
Die Lösungen der Differentialgleichung y'' = 2
bilden keinen Unterraum, da sie die allgemeine Form
y(x) = x2 + c1·x + c2
besitzen.