Übung zur Orthogonalität und orthnormierten Basen Andreas Pester Fachhochschule Techikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at

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1. Es sei S ein Unterraum von R³, der nur den Nullvektor enthält. Was ist dann S^{^}  ?
2. Wenn S durch den Vektor (1,1,1) aufgespannt wird, was ist dann S^{^}  ?
3. Wenn S durch (2,0,0) und (0,0,3) aufgespannt wird, was ist dann S^{^}  ?
4. Welche der folgenden Paare von Vektoren sind orthonormal bzw. nur orthogonal bzw. nur linear unabhängig ?

Wenn nötig, ändern Sie den zweiten Vektor so ab, dass die Vektoren orthonormal werden.

5. Die Vektoren (2,2,-1) und (-1,2,2) sind orthogonal zueinander. Bilden Sie die dazugehörigen orthonormierten Vektoren q₁ und q₂ , bilden Sie die Matrix Q und die Matrizen Q·Q^T sowie Q^T·Q.
6. Es sei u  ein Einheitsvektor, dann ist Q = I -2uu^T die Reflexionsmatrix . Bestimmen Sie Q zu u = (0, 1)^T und zu u = (0.5*sqrt(2), 0.5*sqrt(2))^T. Zeichnen Sie eine Skizze, um die Reflexionen von (x,y) bzw. (x,y,z) zu sehen. Simulation