Imaginäre  Zahlen - Definition und Rechenregeln Andreas Pester FH Technikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at
Komplexe Zahlen - Inhaltsübersicht

Zusammenfassung: Kurze Einführung in das Gebiet der komplexen Zahlen. Hier werden kurz die wichtigsten Definitionen eingeführt. Stichworte: Imaginäre Zahlen | Rechenregeln | Formel 1 | Formel 2 | Formel 3 | Formel 4 | Formel 5 | Addition und Subtraktion | Division | Potenz | negative Potenz |

Bekanntlich sind Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten aus negativen Zahlen im Bereich der reellen   Zahlen nicht erklärt. Um derartige Größen zuzulassen, werden sogenannte imaginäre Zahlen eingeführt. Die Quadratwurzel mit einem negativen Radikanden ist ein imaginäre Zahl.


Kapitel reelle Zahlen
reelle Zahlen

Um nun weitgehend auf die Darstellungsweise der reellen Zahlen zurückzugreiffen, bedient man sich eines Kunstgriffes.

Man schreibt √-a2 = √a2·(-1) = a·√-1 = a·i für a > 0

Da keine reelle Zahl existiert, deren Quadrat -1 ist, erweitert man den Zahlenbegriff um die imaginäre Einheit i = √-1. Diese Einheit führte L. Euler ein.

Es gilt also

i2 = -1

d.h. für die imaginäre Einheit

i = √-1

Wie bisher bei Radikanden aus positiven Zahlen wird nur der Hauptwert berücksichtigt.

Imaginäre Zahlen können alle reellen Vielfachen von i annehmen, d.h. 3i, 78i, allgemein a·i, wobei a eine reelle Zahl ist.

Beachte !: Vor der Anwendung von Rechenregeln imaginäre Zahlen immer als Produkt darstellen, das den Faktor i enthält, also √-a = i· √a

Deshalb gilt  √-a·√-b = i·√a·i·√b = i2·√ab = (-1)·√ab = -√ab

Beachtet man dies nicht, führt dies zu gravierenden Fehlern, etwa derart

√-a·√-b = √(-a)(-b) = √ab (falsch) !!!

Addition und Subtraktion imaginärer Zahlen sowie Multiplikation und Division imaginärer Zahlen mit einer reellen Zahl haben stets eine imaginäre Zahl als Ergebnis:
3i - 4i = -i  pi + 2.23i  = ( p+2.23)·i  25·4i = 100i 3i /-4 = -3/4i

Das Quadrat einer imaginären Zahl ist stets reell, ebenso das Produkt oder der Quotient imaginärer Zahlen.

i2 = -1  3i·(-5i) = 15 3i /-4i = -3/4

Die Division durch eine imaginäre Zahl erfolgt folgendermaßen

Das Ergebnis ist stets eine imaginäre Zahl.

Ein Produkt imaginärer Zahlen mit einer geraden Anzahl von Faktoren ergibt eine reelle Zahl, mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren eine imaginäre Zahl.

Folgende (unterschiedliche) Potenzen von i kann man bilden: 

i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3  = i·i2  = -i

Daher folgt folgende Gesetzmäßigkeit

i0 mod4  = 1, i1 mod4= i, i2 mod4 = -1, i3 mod4 = -i 

Für negative n (n = -1,-2,-3,- 4 ...) gilt die Formel (3) ebenfalls:

Wegen i-1 = -i gilt auch (i-1)2 = (-i)2 . Daraus folgt allgemein für negative Potenzen von i
(i-1)n = i-n = (-i)n

wenn m=2n, so gilt  (-i)m =(-i)2n = +i2n

wenn m=2n+1, so gilt (-i)m =(-i)2n+1 = -i2n+1 (Vorzeichenregeln für die Potenz von -i)

Weiterhin gilt

   

Aufgaben Imaginäre Zahlen werden in der Mathematik und in den Anwendungen in den seltesten Fällen als einzelne Entitäten angesehen, sondern sie treten meist im Zusammenhang mit komplexen Zahlen auf. komplexe Zahlen