Die Eulersche Formel und ihre Anwendung zur exponetiellen Darstellung komplexer Zahlen Andreas Pester Fachhochschule Technikum Kärnten, Villach
pester@cti.ac.at Komplexe Zahlen - Inhaltsübersicht
Zusammenfassung: Auf dieser Seite wird die Eulersche Formel und ihre Anwendung für die exponentielle Darstellungsform komplexer Zahlen behandelt. Ein Abschnitt ist dem Satz von Moivre gweidmet Stichworte: Die Eulersche Formel | Komplexe Zahlen in exponentieller Form | Multiplikation und Division | Formel 1 | Formel 2 | Formel 3 | Formel 4 und 5 Die Eulersche Formel ist ein äusserst wichtiges Ergebnis der Mathematik. Sie lautet : e^i·f = cos(f) + i·sin(f) Für diese Formel gibt es keine motivierende Visualisierung oder physikalische Interpretation, aber man kann sie aus der Zerlegung der Funktionen e^x, cos(x), sin(x) in Taylor-Reihen herleiten.   Die MacLaurin-Reihen (Taylor-Reihe Entwicklungspunkt x₀ = 0) für e^x, cos(x), sin(x)  lauten bekanntlich: Taylor-Reihen
© Mathematik-Online Universität Stuttgart   Setz man nun anstelle des Argumentes x das Argument i·x in e^x ein und ordnet das Ergebnis nach Real- und Imaginärteil, so erhält man die bekannte Formel (1). Taylor am Web (Matlab)
Taylor am Web (Java-Applet) Aus (1) folgt nun die exponentielle Darstellungsform für eine komplexe Zahl z : z = |z|·(cos(f) + i·sin(f)) = |z|·e^i·f = |z|·e^{i·Arg z} Aus der letzten Formel (3) heraus wird die geometrische Interpretation einer komplexen Zahl als Ortsvektor der Länge |z| mit dem Winkel f = Arg z besonders deutlich. Insbesondere lässt sich für eine Reihe komplexer Zahlen Betrag und Argument besonders deutlich ablesen.

• 1 = 1·e^i·0 = 1·e^2pi
• i = 1·e^i·p/2
• -1 = 1·e^-i·p
• -i = 1·e^i·3p/2 = 1·e^-i·p/2

Es ist jeweils ein Ortsvektor der Länge 1, gedreht um den Winkel f   Multiplikation und Division zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂ kann man nun noch einfacher darstellen als in der trigonometrischen Form : z₁·z₂ = |z₁·|z|₂|· e^i(f₁+f₂) z₁/z₂ = |z₁|/|z₂|· e^i(f₁-f₂) Insbesondere ist jetzt klar, dass die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit i die Drehung des diese Zahl repräsentierenden Vektors um den Winkel p/2 in mathematisch positiver Richtung darstellt. Die Multiplikation mit -1 ist entsprechend die Drehung um den Winkel p in der genannten Richtung usw. Deswegen sind z und -z Vektoren derselben Länge, aber um 180° versetzt Umgekehrt ist die Division einer komplexen Zahl z durch i die Drehung des diese Zahl repräsentierenden Vektors um den Winkel p/2 in mathematisch negativer Richtung. Die Division durch -1 ist entsprechend die Drehung um den Winkel p in dieser Richtung und identisch mit der Multiplikation mit -1, da der Winkel f immer in der kleinsten Periode 0 < f < 2·p dargestellt wird. Die zu z = |z|·e^i·f konjugiert komplexe Zahl z* = |z|·e^i·(-f) ist dann die komplexe Zahl mit dem gleichen Betrag, aber mit dem Winkel - f. Visualisierung