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Re e^z = e^xcosy, Im e^z = e^xsiny , |e^z| = e^x und Arg e^z = y. Die wichtigsten Eigenschaften für Exponentialfunktionen gelten auch im Komplexen, wie z.B.: Eine Eigenschaft ist besonders wichtig, da sie die komplexe von der reellen Exponentialfunktion unterscheidet - die Periodizität. Für die komplexe Exponentialfunktion gilt folgende Eigenschaft: Dies ergibt sich aus folgendem Zusammenhang: Die Periode der komplexen Exponentialfunktion beträgt 2pi. Diese Eigenschaft gibt es im Reellen nicht. Die Abbildung w = e^z hat folgende Eigenschaften:

Die Gerade	x = x0	wird auf den Kreis um 0 mit dem Radius r = ex0 abgebildet
Die Gerade	y = y0	wird auf den Strahl Arg w = y0 abgebildet
Der Streifen	y0 < y < y0+2p	wird umkehrbar eindeutig auf C\{0} abgebildet

Geometrisch kann man diese Abbildungseigenschaften wiefolgt veranschaulichen: Diese Abbildungseigenschaften sind für die Funktion w = e^z keineswegs symmetrisch, denn Kreise in der z-Ebene werden keinesfalls in Geraden in der w-Ebene transformiert (wie im Fall der Inversion), wie man aus der nächsten Abb. sieht. Aus der 2pi-Periodizität von w = e^z folgt, dass jeder Streifen der z-Ebene S = {x+iy; xÎÂ, y₀ < y < y₀ +2pi} umkehrbar eindeutig auf die gesamte z-Ebene ohne den Nullpunkt abgebildet werden kann. Der Streifen F := {zÎC, -p < Im z £ p} heißt Fundamentalstreifen. Überlegen Sie, welche Bereiche des Fundamentalstreifens aus der z-Ebene durch w = e^z wohin in die w-Ebene abgebildet werden.