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3.1 Allgemeine Information
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Im Allgemeinen umfassen Kurvendiskussionen die Berechnung der Nullstellen, der Extremwerte (d.h. Hoch- und Tiefpunkte) und der Wendepunkte. Man kann Kurvendiskussionen auch mit Festlegung der Wendetange, Monotonieverhalten, etc. erweitern. Dies wird in diesem Kapitel nicht behandelt.
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3.2 Berechnung der Nullstellen
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Die Nullstellen einer Funktion sind die Schnittpunkte der Funktion mit der x- Achse. Wird also die Funktion gleich 0
gesetzt, erhält man die Nullstellen.
Beispiel: f(x)= x²-5x+4, dies ist eine Funktion 2. Grades, dh. es gibt maximal 2 Nullstellen.
0 = x²-5x+4 Þ 1. Nullstelle x1= 1
2. Nullstelle x2= 4
Zur Überprüfung: f(x1)= f(1)= 1²-5+4=0
f(x2)= f(4)= 4²-20+4=0 ®die Nullstellen sind: NS1=(1;0) und NS2=(4;0).
Lernstoff
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3.3 Berechnung von Extrempunkten
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Hoch- und Tiefpunkte besitzen waagrechte Tangenten. Wird also die 1. Ableitung, welche die Steigung der Tangente in diesem Punkt beschreibt,
gleich 0 gesetzt (waagrechte Tangente hat Steigung 0) erhält man die Hoch- und Tiefpunkte.
Beispiel: f(x)= x²-5x+4
f'(x)= 2x-5, dies ist eine Funktion 1. Grades, dh. dass es maximal einen Extrempunkt(Hoch- oder Tiefpunkt) gibt.
Setzte f'(x)= 0 Þ 2x-5=0 Þ x1= 2,5.
Der Wert y an der Stelle x1= 2,5 beträgt: f(2,5)= 2,5²-5·2,5+4= -2,25 Þ der Extrempunkt ist E=(2,5;-2,25).
Ist E nun ein Hoch- oder Tiefpunkt?
Dazu muss die Krümmung in diesem Punkt untersucht werden: Die Krümmung in einem Punkt wird von der 2. Ableitung einer Funktion beschrieben:
f''(x)= 2 ®diese ist in jedem beliebigen Punkt positiv, dh. auch f''(2,5)>0 Þ E=(2,5;-2,25)ist ein Tiefpunkt.
Ist f''(x)< 0 Þ dieser Extrempunkt ist ein Hochpunkt.
Ist f''(x)= 0 Þ dieser Extrempunkt ist ein Wendepunkt(näheres zu Wendepunkten im nächsten Unterkapitel).
Lernstoff
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3.4 Berechnung der Wendepunkte
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Wendepunkte sind Punkte, in denen die Krümmung gleich 0 ist. Wird also die 2. Ableitung, welche das Krümmungverhalten der Funktion beschreibt, gleich 0 gesetzt, erhält man die Wendepunkte.
Beispiel: f(x)= x³-4x+2
f'(x)= 3x²-4
f''(x)= 6x , dies ist eine Funktion 1. Grades, dh. es gibt maximal einen Wendepunkt.
Wird die 2. Ableitung f''(x)= 0 gesetzt, also 6x = 0, so erhält man die Wendepunkte: 6x=0 Þx1=0.
Der Wert an dieser Stelle 0 ist f(0)=0-0+4 = 4 Þ der Wendepunkt ist WP=(0;4).
Lernstoff
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3.5 Graphen zu Kurvendiskussionen
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Führe mit folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch (Definitionsbereich, Nullstellen, Extrempunkte- Hoch- oder Tiefpunkt und Wendepunkte).
Gib die Funktionen anschließend in Geogebra  ein und kontrolliere deine Ergebnisse:
a. f(x) = x³ - 3x² - x + 3
b. f(x) = 0,5x³ – 3x² + 4
x³
c. f(x) = ---- , was fällt dir bei dieser Kurve auf?
(x²-4)
Selfchecking Test, Eintrag in das Lerntagebuch
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3.6 Zusammenhang zwischen f(x), f'(x) und f''(x)
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Hier  findest du ein Worddokument zum Thema "Zusammenhang zwischen f(x), f'(x) und f''(x).
Löse das Beispiel auf der 3. Seite des Worddokuments und trage die Begründung in dein Hausübungsheft ein!
Lernstoff, Selfchecking Test
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