3.1
Gleichsetz(ungs)verfahren (Komparationsverfahren)
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Bei diesem Verfahren wird jeweils eine Variable in beiden Gleichungen explizit ausgedrückt. Die anderen Seiten werden gleichgesetzt.
Beispiel:
I: x = 4 + y
II: x = 12 + 3y
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4 + y = 12 + 3y
-2y = 8
y = -4
Setze in "I" ein: x = 4 + (-4) = 0
Probe: Setze in "II" ein: 0 = 12 + (-4)⋅3
Dieses Verfahren eignet sich besonders, wenn dieselbe Variable in beiden Gleichungen einfach explizit dargestellt werden kann.
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3.3
Einsetz(ungs)verfahren (Substitutionsverfahren)
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Bei diesem Verfahren wird eine Variable in einer der beiden Gleichungen explizit ausgedrückt und in die andere Gleichung eingesetzt, sodass sich daraus eine Gleichung mit nur mehr einer Unbekannten ergibt.
Beispiel:
I: x = 5 - y
II: 3x + 4y = 17
--------------------
3⋅(5 - y) + 4y = 17
15 - 3y + 4y = 17
y = 2
x = 5 - 2 = 3
Probe: 3⋅3 + 4⋅2 = 17
Dieses Verfahren eignet sich besonders, wenn bereits eine Variable in einer der beiden Gleichungen explizit gemacht wurde.
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3.5
Additions- bzw. Subtraktionsverfahren (Eliminationsverfahren)
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Bei diesem Verfahren versucht man bei gleichen Variablen gleiche Koeffizienten zur erzeugen, um diese dann eliminieren zu können. Die beiden Gleichungen werden zueinander addiert oder voneinander subtrahiert, wodurch man eine Gleichung mit nur mehr einer Unbekannten erhält.
Beispiel:
I: 5x - 11y = -1
II: 3x + 11y = 17
--------------------
8x = 16
x = 2
5⋅2 - 11y = -1
10 + 1 = 11y
y = 1
Probe: 3⋅2 + 11⋅1 = 17
Dieses Verfahren wird häufig dann verwendet, wenn eine Variable in beiden Gleichungen denselben Koeffizienten besitzt.
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3.6
Übungsaufgabe
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Zur Festigungs des Inhalts dieses Abschnitts erledige Übungsaufgabe 4 auf dem ersten Übungszettel.
Die Übungszettel findest du in Kapitel 4.
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3.7
Lösungsmenge
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Eine lineares Gleichungssystem kann eine (eindeutige), keine oder unendliche viele Lösungen haben.
Fall 1:
I: x - y = 4
II: 2x + y = 2
Anwendung des Eliminationsverfahrens:
3x = 6
x = 2
y = -2
L = {(2/-2)}
ist die eindeutige Lösung des Gleichungssystems.
Fall 2:
I: 2x - 2y = 4
II: x = 3 + y
Anwendung des Einsetzungsverfahrens:
2⋅(3 + y) - 2y = 4
6 + 4y - 4y = 4
6 = 4 (Widerspruch)
Das Gleichungssystem hat keine Lösung.
L = { }
Fall 3:
I: y = 4 + x
II: 8 = 2y - 2x
Anwendung des Einsetzungsverfahrens:
8 = 2⋅(4 + x) - 2x
8 = 8 + 2x - 2x
8 = 8
Diese Gleichung wird von jedem Zahlenpaar (x|y) erfüllt. Die Gleichung hat also unendliche viele Lösungen.
L = {(x|y) | (x|y) ∈ ℝ²}
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