Beispiel 1:
    Die Summer zweier Zahlen ist 20. 
    Das Doppelte der einen Zahl ist gleich dem 3-fachen der anderen Zahl.
    Wie heißen die beiden Zahlen?

Wir bezeichnen die Zahlen mit x und y:
1. Beziehung = Gleichung I:  x + y = 20
2. Beziehung = Gleichung II: 2x = 3y

Wir formen die erste Gleichung um und verwenden das Einsetzungsverfahren:
I: x = 20 - y
I in II einsetzen: 2*(20 - y) = 3y
Nach dem Lösen dieser Gleichung erhalten wir: y = 8
Wir setzen y in die erste Gleichung ein: x = 12

Probe: I: 12 + 8 = 20  -> wahr!
      II: 2*12 = 3*8   -> wahr!

Anwort: Die Zahlen x = 12 und y = 8 sind die Lösungen des Gleichungssstems.


Beispiel 2:
    Zwei Zahlen verhalten sich wie 2:3. 
    Subtrahiert man von jeder Zahl 6, so verhalten sich die neuen Zahlen wie 1:2.
    Wie heißen die beiden Zahlen?

Wir bezeichnen die Zahlen mit x und y:
1. Bedingung:  I: x:y = 2:3             ->   3x = 2y
2. Bedingung: II: (x - 6):(y - 6) = 1:2 ->   2*(x - 6) = y - 6

Nun muss man das Gleichungssystem nur mehr lösen! 

Beispiel 1:
    In einem gleichschenkeligen Dreieck ist der Basiswinkel a 
    doppelt so groß wie der Scheitelwinkel g.
    Berechne die Größe der Winkel im Dreieck!



1. Bedingung:
Die Winkelsumme in einem Dreieck ist immer 180°!
   =>  I: 2a + g = 180

2. Bedingung:
   => II: a = 2g

Die Variablen in diesem Gleichungssystem heißen nun a und g.
Das Gleichungssystem kann auf gewohnte Art und Weise gelöst werden!


Beispiel 2:
    Verlängert man die längere Seite eines Rechtecks um 4cm und die kürzere Seite um 2cm,
    so wächst der Flächeninhalt um 64cm².
    Verlängert man aber die längere Seite des Rechtecks um 8cm und die kürzere um 3cm,
    so wächst der Flächeninhalt um 124cm².
    Berechne die Seitenlängen des Rechtecks!


  

    
 
    
Basisrechteck
    
Rechteck 1
    
Rechteck 2
  
  

    
Länge:
    
x
    
x + 4
    
x + 8
  
  

    
Breite:
    
y
    
y + 2
    
y + 3
  
  

    
Flächeninhalt:
    
A0=x*y
    
A1=(x+4)*(y+2)
    
A2=(x+8)*(y+3)
  


Aus dem Angabentext lesen wir, dass A1 um 64cm² größer ist als A0.
Gibt man also zu A0 64cm² dazu, sind beide Rechtecke gleich groß:
   =>  I: A0 + 64 = A1
       I: x*y + 64 = (x+4)*(y+2)

Außerdem wissen wir aus der Angabe, dass A2 um 124cm² größer als A0 ist:
   => II: A0 + 124 = A2
      II: x*y + 124 = (x+8)*(y+3)

Und so erhalten wir ein Gleichungssystem mit 2 Variablen, dass wir wieder 
wie gewohnt lösen können!




    

Beispiel 1:
    Max möchte wissen, wie viel Geld seine Schwester Claudia in ihrem Sparschwein hat!
    Claudia sagt: ,,Wenn ich dir 1€ gebe, dann haben wir beide gleich viel. Wenn du 
    mir 1€ gibst, dann habe ich doppelt so viel wie du!''
    Wie viel Geld hat Claudia und wie viel Geld hat Max?


  

    
jetzt
    
I: Claudia gibt Max 1€
    
II: Max gibt Claudia 1€
  
  

    
Claudia: c
    
c - 1
    
c + 1
  
  

    
Max: m
    
m + 1
    
m - 1
  
  

    

    
beide haben gleich viel: 
c - 1 = m + 1
  
    
Claudia hat doppelt so viel wie Max: 
c + 1 = 2*(m - 1)
  
  



Das Gleichungssystem lautet also:
    I: c - 1 = m + 1
   II: c + 1 = 2*(m - 1)


Beispiel 2:

    Auf einem Bauernhof gibt es Hühner und Kaninchen mit zusammen 25 Köpfen und 68 Beinen. 
    Wie viele Hühner und wie viele Kaninchen gibt es?


  

    

    
Köpfe:
    
Beine:
  
  

    
Anzahl der Hühner:    h
    
h
    
2h
  
  

    
Anzahl der Kaninchen: k
    
k
    
4k
  
  

    
zusammen:
    
h + k
    
2h + 4k
  


Das Gleichungssystem lautet also:
    I: h + k = 25
   II: 2h + 4k = 68