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2.1 Kreisfunktionen am Einheitskreis
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In diesen Graphen haben wir bereits viele Kreisfunktionswerte eingezeichnet, alle davon sind abhängig von den beliebig gewählten Winkel α (in diesem Fall 0<α<90°)
Im Vergleich zum rechtwinkligen Dreieck stellen wir fest, dass:
– der Sinuswert gleich der y-Koordinaten des Punktes P
– der Kosinuswert gleich der x-Koordinaten des Punktes P
ist.
Weiters stellen wir fest, dass das Verhältnis von dem Tangenswert zur Strecke O1 (die Gerade vom Nullpunkt zum Punkt 1) gleich dem Verhältnis vom Sinuswert zum Kosinuswert sein muss. D.h.:
tan(α) sin(α) sin(α)
————— = ————— -> tan(α)= —————
1 cos(α) cos(α)
Auch für den Kotangenswert lässt sich mittels Verhältnisse folgende Formel aufstellen:
cot(α) cos(α) cos(α)
————— = ————— -> cot(α)= —————
1 sin(α) sin(α)
Merke: sin(α)= y-Koordinate des zu α gehörigen Punktes P am Einheitskreis.
cos(α)= x-Koordinate des zu α gehörigen Punktes P am Einheitskreis.
Falls Nenner ≠0:
sin(α) cos(α) 1
tan(α)= ————— ; cot(α)= ————— ; cot(α)= —————
cos(α) sin(α) tan(α)
Auftrag: Übertrage die "blauen" Formeln mit Graph ins Schulübungsheft
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2.2 Übungsbeispiel 1:
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Gegeben: α=60°, 150°, 220°, 315°
a) Stelle die einzelnen Kreisfunktionswerte (cos, sin, tan) im Einheitskreis dar
b) Berechne die jeweiligen Werte
Lösung:
a)
b)
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2.3 Beobachtung:
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–Alle Sinus- & Kosinuswerte liegen zwischen -1 und 1
–Der Tangenswert kann gegen ±Unendlich gehen
Es ist vorteilhaft sich folgende wichtige und häufig auftretende Werte einzuprägen:
Durch weitere Überlegungen am Einheitskreis stellen wir fest, das sich jeweilige Punktem und die dadurch resultierenden Werte,
sich nicht verändern, wenn man "eine weitere Runde dreht", also 360° addiert oder subtrahiert.
Für den Tangens gilt dies sogar für halbe Runden:
sin(α+k*2π)=sin(α)
cos(α+k*2π)=cos(α)
tan(α+k*π)=tan(α)
wobei k=0,±1,±2,±3,±4,...
π=180°
Man nennt diese ständigen Wiederholungen von Funktionswerten: Periodizität
Weiters gilt:
sin(-α)=-sin(α)
cos(-α)=cos(α
tan(-α)=-tan(α)
verdeutlicht durch folgende Graphik:
Auftrag: Übertrage zumindest die in blau geschriebenen Informationen in dein Schulübungsheft
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2.4 Übungsbeispiel 2:
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Überprüfe mittels zeichnen der Einheitskreise folgende Aussagen:
a) sin(180°-α)=sin(α)
b) cos(-α)=cos(α)
c) cos(α)=sin(α+90°)
Achtung: Wähle 0<α<90°
Lösung:
a)
b)
c)
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