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Bemerkung zur Definition des Absolutbetrags:

Die formale Definition des Absolutbetrags einer reellen Zahl x ist
|x|   =  {
 x       wenn x ³ 0
-x       wenn x < 0
(1)
Daraus folgt, daß immer |x| ³ 0 ist. Weiters ist 0 die einzige Zahl, für die der Absolutbetrag 0 ist. Das kann kurz und bündig als
|x| = 0     Û    x = 0
(2)
formuliert werden.

Der Absolutbetrag erkennt die ''Größe'' einer Zahl, ohne dabei auf das Vorzeichen zu achten. Die Tatsache, daß er das Vorzeichen ignoriert, läßt sich in der mathematischen Symbolsprache als

|-x| = |x|
(3)
schreiben.

Der Absolutbetrag einer Differenz | x - y | für x, y Î R entspricht gerade dem, was man auch in der Alltagssprache unter dem ''Abstand'' zweier Punkte x, y (auf der Zahlengeraden) versteht. Das Bequeme daran ist, daß man dabei auf die Reihenfolge nicht achten muß, da immer | x - y | = | y - x | gilt (wie aus (3) folgt).

Sind die beiden Punkte x und y voneinander verschieden und liegen nahe beieinander, so ist | x - y | klein (und positiv). Sind sie gleich, so ist | x - y | = 0. Diese Eigenschaft des Absolutbetrags wird im Kapitel Grenzprozesse verwendet werden, um genau zu definieren, wann eine "Folge" von Zahlen einem bestimmten Wert immer näher kommt (Konvergenz und Grenzwert einer Folge).