Formeln zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Größere Schriftzeichen

Auf einen Blick: Formeln zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die Formelnummern beziehen sich auf das Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1 der mathematischen Hintergründe.

Laplace-Experiment: Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A ist durch den Quotienten

p(A)

Zahl der günstigen Fälle

Zahl der möglichen Fälle

(4)

gegeben.

Additionsregel: Für disjunkte Ereignisse gilt

p(A oder B) º p(A È B) º p(A Ú B) = p(A) + p(B).

(5)

Gegenwahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Gegenereignisses von A ist

p(Ø A ) = 1 - p(A).

(7)

Normierung der Wahrscheinlichkeiten: Sind A₁, A₂, A₃,... alle Versuchsausgänge eines Zufallsexperiments, so gilt

p(A₁) + p(A₂) + p(A₃) + ... = 1.

(8)

Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse: Zwei Ereignisse A und B sind genau dann statistisch voneinander unabhängig, wenn

p(A und B) º p(A Ç B) º p(A Ù B) = p(A) p(B).

(9)

Baumdiagramme: Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A aus einem Baumdiagramm zu ermitteln,

bestimme man jene Pfade, die zu A gehören (wobei jeder Pfad beim obersten Verzweigungspunkt beginnt),
multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang dieser Pfade und
addiere die erhaltenen Zahlen.

Kombinatorik:

Permutationen: Es gibt

n!
(10)

Möglichkeiten, n Objekte auf n Plätze zu verteilen.
Kombinationen ohne Wiederholung: Es gibt

⎛ n ⎞
⎝ k ⎠
(11)

Möglichkeiten, k aus n Objekten auszuwählen, wobei ein Objekt nur einmal gewählt werden darf.
Kombinationen mit Wiederholung: Es gibt

⎛ n + k - 1 ⎞
⎝ k ⎠
(12)

Möglichkeiten, k aus n Objekten auszuwählen, wobei ein Objekt mehrmals gewählt werden darf.
Variationen ohne Wiederholung: Es gibt

n!
(n - k)!
(13)

Möglichkeiten, k aus n Objekten auszuwählen und in eine Reihenfolge zu bringen, wobei ein Objekt nur einmal gewählt werden darf.
Variationen mit Wiederholung: Es gibt

n^k
(14)

Möglichkeiten, k aus n Objekten auszuwählen und in eine Reihenfolge zu bringen, wobei ein Objekt mehrmals gewählt werden darf.
Permutationen mit Gruppen nicht unterscheidbarer Elemente: n Objekte werden in m Gruppen vom Umfang n₁, n₂,... n_m zusammengefasst
(n₁ + n₂ + ... + n_m = n). Objekte innerhalb einer Gruppe sind nicht unterscheidbar, Objekte aus verschiedenen Gruppen sind unterscheidbar. Es gibt

n!
n₁! n₂! ... n_m!
(15)

(unterscheidbare) Möglichkeiten, diese n Objekte auf n Plätze zu verteilen.

Multiplikationsregel für Wahrscheinlichkeiten: Für zwei Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments gilt

p(A und B) º p(A Ç B) = p(A|B) p(B).

(16)

Definition der statistischen Unabhängigkeit: Zwei Ereignisse A und B heißen statistisch (oder stochastisch) voneinander unabhängig, wenn

p(A) = p(A|B).

(17)

Satz von Bayes: Für zwei Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments gilt

p(A|B) p(B) = p(B|A) p(A).

(22)

Hintergründe hierzu im Kapitel
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1