Beweis der Additionsregel (5)

Beweis der Additionsregel (5):

Für disjunkte Ereignisse A und B gilt die Additionsregel

p(A oder B) º p(A È B) º p(A Ú B) = p(A) + p(B).

(5)

Beweis:

Gemäß der Definition der Wahrscheinlichkeit, Formel (3) weiter oben in diesem Kapitel, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die für eine gegen unendlich strebende Anzahl n von Durchführungen des betreffenden Zufallsexperiments vorausgesagte relative Häufigkeit seines Eintretens.

Stellen wir uns also eine sehr große Zahl n von Durchgängen des betreffenden Zufallsexperiments vor. Da die Ereignisse A und B disjunkt sind, treten sie nie gleichzeitig ein. Wenn

das Ereignis A genau r mal eintritt und
das Ereignis B genau s mal eintritt,

so ist

die relative Häfigkeit für das Eintreten von A gleich r/n,
die relative Häfigkeit für das Eintreten von B gleich s/n und
die relative Häfigkeit für das Eintreten von A È B gleich (r + s)/n
(da in diesem Fall alle Versuchsausgänge gezählt werden, bei denen A oder B eintritt).

Im Grenzfall einer gegen unendlich strebenden Anzahl von Versuchsdurchgängen strebt

r/n gegen die Wahrscheinlichkeit p(A),
s/n gegen die Wahrscheinlichkeit p(B) und
(r + s)/n gegen die Wahrscheinlichkeit p(A È B).

Wenn nun r/n gegen p(A) strebt und s/n gegen p(B), so strebt die Summe r/n + s/n, die gleich (r + s)/n ist, gegen p(A) + p(B). Daher ist p(A È B) = p(A) + p(B), womit (5) bewiesen ist.