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Berechnung der Taylorkoeffizienten von sin und cos:

Die Taylorreihe der Sinusfunktion mit Mittelpunkt 0 ergibt sich mit $f(x)=\sin x$ folgendermaßen:

  $n$     $f^{(n)}(x)$     $f^{(n)}(0)$   $$\quad a_n={f^{(n)}(0)\over n!}\quad$$
$0$ $\sin x$ $0$ $0$
$1$ $\cos x$ $1$ $${1\over 1!}$$
$2$ $-\sin x$ $0$ $0$
$3$ $-\cos x$ $-1$ $$-{1\over 3!}$$
$4$ $\sin x$ $0$ $0$
$5$ $\cos x$ $1$ $${1\over 5!}$$
$6$ $-\sin x$ $0$ $0$
$7$ $-\cos x$ $-1$ $$-{1\over 7!}$$

Wie wir sehen, wiederholen sich die $f^{(n)}(x)$ und daher die Werte von $f^{(n)}(0)$ nach jeweils vier Schritten.

Die Taylorreihe der Cosfunktion mit Mittelpunkt 0 ergibt sich mit $g(x)=\cos x$ ganz analog:

  $n$     $g^{(n)}(x)$     $g^{(n)}(0)$   $$\quad a_n={g^{(n)}(0)\over n!}\quad$$
$0$ $\cos x$ $1$ $${1\over 0!}$$
$1$ $-\sin x$ $0$ $0$
$2$ $-\cos x$ $-1$ $$-{1\over 2!}$$
$3$ $\sin x$ $0$ $0$
$4$ $\cos x$ $1$ $${1\over 4!}$$
$5$ $-\sin x$ $0$ $0$
$6$ $-\cos x$ $-1$ $$-{1\over 6!}$$
$7$ $\sin x$ $0$ $0$

Auch in diesem Fall, wiederholen sich die $g^{(n)}(x)$ und daher die Werte von $g^{(n)}(0)$ nach jeweils vier Schritten.