Größte untere und kleinste obere Schranke einer Folge:
Wir wollen hier beweisen, dass die Menge aller oberen (unteren) Schranken einer nach oben (unten) beschränkten Folge
ein kleinstes (größtes) Element besitzt.
Wir führen den Beweis für die Menge aller oberen Schranken einer nach oben beschränkten Folge.
Der Beweis für die Menge aller unteren Schranken einer nach unten beschränkten Folge verläuft völlig analog.
Betrachten wir also eine nach oben beschränkte reelle Zahlenfolge $\langle a_n\rangle$.
Jede reelle Zahl $K$ mit der Eigenschaft
$a_n \leq K$ für alle $n$
ist eine obere Schranke (wobei die Formulierung "für alle $n$" je nachdem, ob wir mit $0$ oder $1$ zu zählen
beginnen, "für alle $n\in N_0$" oder "für alle $n\in N$" bedeutet).
Eine nach oben beschränkte Folge besitzt daher unendlich viele obere Schranken: Ist $K$ eine obere Schranke, so ist
jede größere Zahl ebenfalls eine.
Die Frage ist nun: Besitzt die Folge eine kleinste obere Schranke?
Das ist nicht von vornherein klar, denn nicht jede unendliche Menge von Zahlen besitzt ein kleinstes Element!
Beispielsweise besitzt die Menge aller positiven Zahlen kein kleinstes Element,
denn für jede positive Zahl lässt sich eine kleinere positive Zahl angeben.
Keine positive Zahl kann den Anspruch erheben, die kleinste zu sein.
Definieren wir also zunächst formal, dass wir unter einer kleinsten oberen Schranke eine obere
Schranke mit der zusätzlichen Eigenschaft verstehen, dass jede kleinere Zahl keine obere Schranke ist.
Dann ist zunächst einmal klar, dass eine Folge höchstens eine kleinste obere Schranke besitzen
kann: Von zwei verschiedenen Zahlen, die beide obere Schranken sind, ist zumindest die größere
keine kleinste obere Schranke. Wenn es also eine kleinste obere Schranke gibt, so ist sie
eindeutig.
Sehen wir uns die Menge aller oberen Schranken genauer an:
- Wir haben bereits festgestellt: Ist $K$ eine obere Schranke, so ist jede größere Zahl ebenfalls eine.
Das impliziert auch, dass alle Zahlen, die zwischen zwei oberen Schranken liegen, ebenfalls obere Schranken sind.
Die Menge aller oberen Schranken hat daher keine "Löcher". Sie ist ein Intervall, das beliebig große Zahlen
enthält. Es bleiben nur zwei Möglichkeiten:
- Sie ist entweder ein Intervall der Form $(c,\infty)$, zu dem die Zahl $c$ selbst nicht gehört (in diesem Fall hätte sie kein kleinstes Element)
- oder ein Intervall der Form $[c,\infty)$, zu dem auch die Zahl $c$ gehört (in diesem Fall hätte sie sehr wohl ein kleinstes Element, nämlich $c$).
(Intervalle und ihre Schreibweisen wurden im Kapitel Zahlen besprochen).
- Wir beweisen nun, dass stets der zweite Fall zutrifft. Wir führen den Beweis indirekt
(zur Methode des indirekten Beweises siehe den entsprechenden Abschnitt im
Kapitel Exaktheit und Logik),
d.h. wir nehmen an, die Menge aller oberen Schranken wäre ein Intervall der Form $(c,\infty)$, zu dem also $c$ nicht gehört,
und zeigen, dass das nicht der Fall sein kann.
Falls die Annahme zutrifft, so ist jede Zahl, die größer als $c$ ist, eine obere Schranke,
aber $c$ selbst ist keine. Da $c$ keine obere Schranke ist, gibt es zumindest ein Folgenglied $a_m$, das größer als $c$ ist:
$c < a_m$.
Nun gibt es zwischen $c$ und $a_m$ unendlich viele reelle Zahlen. Genauer: Es gibt unendlich viele Zahlen, die
größer als $c$ und kleiner als $a_m$ sind.
Da jede solche Zahl größer als $c$ ist,
ist sie Element des Intervalls $(c,\infty)$ und somit obere Schranke der Folge.
Da sie kleiner als $a_m$ ist, ist sie aber keine obere Schranke. Ein schöner Widerspruch! Daher war die
Voraussetzung falsch.
- Damit ist bewiesen: Die Menge aller oberen Schranken ist ein Intervall der Form $[c,\infty)$, wobei $c$ selbst
dazu gehört. Diese Menge besitzt aber ein kleinstes Element, nämlich $c$.
Wie erwähnt, verläuft der Beweis für die Menge aller unteren Schranken einer nach unten beschränkten
Folge völlig analog. Sie besitzt ein größtes Element, d.h. jede nach unten
beschränkte Folge besitzt eine größte untere Schranke. Sie können diesen Fall übrigens auf den
oben besprochenen zurückführen, indem Sie anstelle der nach unten beschränkten Folge $\langle a_n\rangle$
die (nach oben beschränkte) Folge $\langle -a_n\rangle$ betrachten und das obige Ergebnis anwenden. Es gilt dann stets
größte untere Schranke der Folge $\langle a_n\rangle$ $=$
$=$ $-$ kleinste obere Schranke der Folge $\langle -a_n\rangle$.