Die Klassen der symmetrischen und antisymmetrischen Funktionen sind in einer
gewissen Hinsicht elementar: Jede Funktion lässt sich aus ihnen
konstruieren.
Satz: Jede Funktion
f : R ® R
kann in eindeutiger Weise als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Funktion dargestellt werden.
Beweis 1. Teil: Wir betrachten eine Funktion
f : R ® R
und zeigen, dass sie als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Funktion dargestellt werden kann.
Dazu schreiben wir
f+(x) =
1
2
( f (x) + f (-x) )
f-(x) =
1
2
( f (x) - f (-x) )
und bemerken,
dass f+ eine symmetrische und
f- eine antisymmetrische Funktion
ist
(rechnen Sie selbst nach - es geht ganz einfach), und
dass die Summe dieser beiden Funktionen f ist:
f (x) =
f+(x)
+ f-(x) .
Damit ist bewiesen, dass f die Summe einer symmetrischen und
einer antisymmetrischen Funktion ist.
Beweis 2. Teil: Es bleibt zu zeigen, dass diese Darstellung eindeutig ist.
Dazu nehmen wir an, f wäre noch auf eine
andere Weise als Summe einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Funktion darzustellen:
f (x) =
g+(x)
+ g-(x) .
Dann wäre
f+(x)
+ f-(x)
=
g+(x)
+ g-(x) ,
was wir zu
f+(x)
- g+(x)
=
g-(x)
- f-(x)
umformen. Die linke Seite stellt eine symmetrische, die rechte eine antisymmetrische Funktion dar.
Nun ist aber eine Funktion, die gleichzeitig symmetrisch und antisymmetrisch ist, identisch Null.
Es folgt
f+(x)
=
g+(x) f-(x)
=
g-(x)
für alle x Î R,
d.h. die Summe ist tatsächlich eindeutig. Damit ist der Satz bewiesen.
Nachbemerkung: f+ wird als "symmetrischer"
und f-
als "antisymmetrischer" Anteil der Funktion f
bezeichnet.